Teoría de hipótesis

Ejercicos de Contraste de Hipotesis de la Media: 1) Contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una determinada variable, X, es igual a 100, sabiendo que la varianza poblacional es igual a 64 y que X es normal. Para ello extraemos una mas de 25 observaciones y calculamos su media aritmética en X, que resulta ser igual a 105; establecemos un nivel de significación (α) de 0,05.Hipótesis. H0: μ = 100 H1: μ ≠ 100 Regla de decisión. Rechazar si z ≥ 1,96 ó z ≤ -1,96 No rechazar si -1,96 < z < 1,96

z=

=

= 3,125

Como 3,125 > 1,96 rechazamos H0. Concluimos que la evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 100.

2) En un determinado instituto aseguran que las notas obtenidas por sus alumnos en laspruebas de acceso a la Universidad tienen una media igual o superior a 7 puntos. Pero la media obtenida en una muestra aleatoria de 80 alumnos en los últimos exámenes fue de 6,89 puntos. Si sabemos que la varianza es igual a 4,84, ¿podemos considerar, con un nivel de significación del 1%, que la afirmación hecha por el instituto es cierta? H0: =7 H1: < 7 Para un nivel de significación del 1%,tenemos que z = 2,33. La varianza es 4,84, entonces, la desviación típica será 4,84 2,2. (7-23 * 2,2/ = 6,43

La mediamuestral obtenidaes x=6,89.

Como la media muestral queda dentro de la zona de aceptación, aceptamos H0; es decir, aceptamos que la media es igual o superior a 7 puntos.

3)En una determinada región, el número semanal de accidentes de tráfico producido durante el año pasadosiguió una distribución normal de media 3,2 y desviación típica 1,3. Se ha llevado a cabo una campaña de prevención contra los accidentes de tráfico y la media semanal de accidentes en las 40 semanas siguientes ha sido de 3,05. Admitiendo que la desviación típica no ha variado, ¿podemos afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la campaña no ha tenido éxito (es decir, que el número deaccidentes no ha disminuido con respecto al año anterior)? Solución: H0: = 3,2 H1: < 3,2 Para un nivel de significación del 5%, tenemos que z = 1,645. Por tanto, el intervalo queda: (3,2 - 1,645 * 1,3/ ) = 2,86

La media muestral obtenida es x= 3,05. Como la media muestral obtenida queda dentro de la zona de aceptación, aceptamos H0; es decir, no podemos considerar que el número de accidentes hayadisminuido.

4)Un laboratorio ha preparado un elevado número de dosis de cierta vacuna. Se conoce que el peso de dichas dosis se distribuye normalmente, con desviación típica de 0,10 mg. El peso medio de las dosis ha de ser de 0,70 mg. Se requiere la máxima precisión en el peso de las dosis. Por ello, se elige una muestra de 200 dosis y se comprueba su peso medio, que resulta ser de 0,66 mg. Realizaun contraste de hipótesis, con un nivel de significación de 0,05, para decidir si se debe retirar las dosis producidas, o bien la diferencia de peso medio es debida al azar. H0: H1: 0,70 mg 0,70 mg

Si la hipótesis nula, H0, fuera cierta, las medias muestrales se distribuirían según una N( 0,70; 0,10/ )

Para un nivel de significación de 0,05, tenemos que z²= 1,96. Por tanto, el intervaloserá: (0,70 - 1,96 * 0,10/ ; 0,70 +1,96 * 0,10/ ) es decir (0,686 ; 0,714)

Hemos obtenido una media muestral x=0,66 mg. Como la media muestral obtenida queda fuera del intervalo de aceptación, rechazamos H0; es decir, no podemos dar por válido que el peso medio sea de 0,70 mg. Se deben retirar las dosis producidas.

5) El concejal de cultura de una determinada localidad afirma que el tiempo mediodedicado a la lectura por los jóvenes entre 15 y 30 años, residentes en dicha localidad, es, como mucho, de 8 horas semanales. Tomando una muestra aleatoria de 100 jóvenes entre 15 y 30 años, se obtuvo que la media de horas semanales que dedicaban a leer era de 8,3, con una desviación típica igual a 1. Con un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la afirmación del concejal? H0: H1:...