Teoría de nudos

Teoría de nudos
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Nudos triviales
La teoría de nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo.
Al escuchar la palabra nudo vienen a nuestra mente imágenes como la de los cordones de unos zapatos, la de las sogas de los marineros e incluso vienen recuerdos como el de una extensión eléctricadifícil de desanudar. Todas esas imágenes son ejemplos de nudos que difieren por muy poco del concepto matemático de nudo.
Un nudo, una vez pegados sus extremos será representado por una curva simple y cerrada en R3, o de modo más amplio, por encajes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topológicos ambiente.
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Definición [editar]
Artículo principal: nudo(matemática)
Lo que pretende la definición matemática de nudo es dar una descripción rigurosa de lo que es el nudo y con ello poder dar respuesta a qué es que un nudo sea distinto de otro. La idea básica de esta definición es que, para darle cabida a que un nudo no se pueda desanudar, se pegan las puntas extremas del nudo.
* Por ello se dice que un nudo es un encaje o embebimiento de la circunferencia en elespacio ambiente (R3, S3 o alguna otra 3-variedad).
Por otro lado, el que un nudo se pueda deformar a otro, en matemáticas se describe como la existencia una isotopía del ambiente entre ambos encajes.
* Formalmente hablando, uno puede decir que un nudo en (R3 o en S3) es una clase de equivalencia de encajes de la 1-esfera ( S1= {x R2 : |x|=1 } ) en (R3 o en la 3-esfera). La clase está dadapor la equivalencia isotópica de funciones, es decir, dos encajes son equivalentes si existe una isotopía del ambiente entre ambos.
También es posible estudiar nudos en el Toro: .
Historia [editar]
Al final del siglo XVIII hace su aparición la Teoría de nudos con los estudios de A.T.Vandermonde, C.F. Gauss y F. Klein.
En la parte final del siglo XIX se inició un estudio sistemático de la teoríacuando los matemáticos y físicos se dedicaron a tabular nudos. Lord Kelvin (1867) propuso la idea de que los átomos eran nudos, formados por pequeños vórtices o corrientes cerradas de éter. Él creía que si clasificaba todos los nudos posibles podría explicar cómo los átomos absorben y emiten luz. Ahora sabemos que esta idea es incorrecta. El físico Peter Tait pasó muchos años realizando una lista denudos con la creencia de que estaba creando una tabla de elementos. Cuando el eter no fue detectado en el experimento de Michelson y Morley, la teoría de los átomos modelados mediante nudos fue desechada, y la teoría de los nudos perdió parte de su interés para los físicos.
Al principio del siglo XX, junto con el desarrollo de la topología, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y KurtReidemeister investigaron los nudos.
Pero los desarrollos más importantes de esta teoría se han producido en la segunda parte del siglo XX, gracias a las contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman y muchos otros. Hoy en día, la teoría de nudos tiene aplicaciones en teoría de cuerdas, en la gravedad cuántica, en el estudio de replicación y recombinación del ADN, en áreas de la mecánica y enpsicoanálisis lacaniano (consúltese, por ejemplo, el seminario de Lacan No.22 llamado “RSI”, y el No.23, llamado “Sinthome”, dictados entre 1974 y 1976).
Importante recalcar que los complementos de algunos nudos tienen a 3-variedades como complementos y estas son objetos de intenso estudio.
Diagramas de nudos y movimientos de Reidemeister [editar]
Artículo principal: movimiento de ReidemeisterDiagrama de un nudo
Un nudo se describirá generalmente por medio de su diagrama, que representa su proyección sobre el plano, destacando en cada cruce la diferencia entre el tramo que está encima y el que está debajo (que normalmente aparece marcado con una interrupción).
Es posible que al proyectar dos nudos diferentes en determinada dirección, se pierda información y se obtenga la misma...