Teor A Del Orden

Teoría del orden
2 Introducción a las definiciones
básicas

La teoría del orden es una rama de la matemática que
estudia varias clases de relaciones binarias que capturan
la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo
provee una introducción detallada a este campo e incluye
algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida
búsqueda de un término orden teórico, hay también unglosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre
orden recoge los artículos que existen en relación a esta
teoría del orden.

Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al
reino de los conjuntos ordenados. Está dirigida al lector
que tiene un conocimiento básico teoría de conjuntos y
aritmética y que sabe qué es una relación binaria, pero que
no está familiarizado, hasta ahora, conconsideraciones
teóricas sobre orden.

2.1 Conjuntos parcialmente ordenados

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Trasfondo y motivación

Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún
El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un
trata de matemática y áreas relacionadas tales como la orden parcial si esreflexiva, antisimétrica, y transitiva, es
informática. El primer orden que uno típicamente en- decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:
cuentra en la educación matemática de la escuela primaria es el orden ≤ de los números naturales. Este concepa ≤ a (reflexividad)
to intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
números, tal como los enterosy reales. De hecho la idea
si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).
de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeración en general (que uno generalmente se interesa también en la Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto
diferencia real de dos números, que no viene dada por parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés
elorden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden partially ordered set). El término conjunto ordenado
a veces también se utiliza para los posets, mientras eslexicográfico de las palabras en un diccionario.
té claro del contexto que no se quiere significar ninguna
Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad es- otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se
pecial: cada elemento sepuede comparar con cualquier ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los
otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin naturales, enteros, racionales y reales son todos órdenes
embargo, esto no siempre es un requisito deseable. Un en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad
ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos adicional de ser total, es decir,para todo a, b en X
de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de
cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es maa ≤ b o b ≤ a (totalidad)
yor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser
comparables de este modo, puesto que cada uno puede
contener algún elemento que no esté presente en el otro. este orden se puede también llamar orden lineal o cadePor lo tanto, inclusiónde subconjuntos es un orden par- na. mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el
cial, en comparación con los órdenes totales dados antes. orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un
ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas proAlentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, piedades avanzadas de los posets son interesantes princise pueden definir numerosasclases especiales de conjun- palmente para un orden no lineal.
tos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser
campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría
del orden no se restringe a las varias clases de relacio- 2.2 Visualizando órdenes
nes de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad Antes de proceder con más ejemplos...