Teorema de bayer

Teorema de Bayes
Y
Guía ejercicios N° 1

El Teorema de BAYES se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que haocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
[pic]
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, trataremos de explicarlo.  

El Teorema de Bayes, dentro dela teoría probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" (probabilidad posteriori), en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A" (probabilidad simple o apriori).
Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional [pic] y probabilidadconjunta [pic] para eventos estadísticamente dependientes se procederá a enunciar el Teorema de Bayes.
Sean[pic], [pic] ...[pic] eventos mutuamente excluyentes tales que, cualquier evento “B” en el espacio muestral pertenece a uno y sólo a uno de estos eventos. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento [pic] dado que ha ocurrido el evento “B” se calculará por la siguiente fórmula:[pic]
Por lo tanto, sustituyendo la fórmula de probabilidad condicional, se obtiene la fórmula general para el Teorema de Bayes:
[pic]
Donde:
• El numerador es la probabilidad conjunta: [pic]
• El denominador es la probabilidad marginal de que ocurra el evento “B”
[pic]
Como "A" y "B" son eventos estadísticamente dependientes, el Teorema de Bayes se puede representar tambiénutilizando el diagrama de árbol.

Primer ejemplo.
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovió, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente sedenominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
[pic]
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
[pic]
La probabilidad de queefectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
[pic]
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
[pic]
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1% 

Otro ejemplo.
En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usantres diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla.
|robot |defectuosos |art. procesados |
|A |0.002 |18 % |
|B...