teorema de cambio de variable

Cap´
ıtulo 7

El teorema del cambio de
variables
En este cap´
ıtulo estudiaremos el otro resultado fundamental, aparte del
teorema de Fubini, que nos ayudar´ a calcular integrales m´ltiples sobre
a
u
recintos de forma no rectangular y que adem´s permitir´ simplificar el c´lcua
a
a
lo de muchas integrales m´ltiples (de manera parecida a como un caso paru
ticular de este resultado, elm´todo de integraci´n por sustituci´n, simplifica
e
o
o
el c´lculo de muchas integrales de funciones de una variable). Primero enuna
ciaremos el teorema del cambio de variables y veremos varios ejemplos de
sus aplicaciones. La demostraci´n de este resultado es larga y complicada, y
o
en una primera lectura podr´ omitirse; lo fundamental es comprender bien
ıa
su enunciado y saber aplicarlocorrectamente.
Antes de enunciar el teorema, recordemos que el (determinante) jacobiano de una aplicaci´n diferenciable f : A −→ Rn (donde A es un abierto
o
de Rn ) se define como
Jf (x) = det(f (x))
para cada x ∈ A. Un difeomorfismo (de clase C p ) g entre dos abiertos A y B
de Rn es una aplicaci´n g : A −→ B biyectiva y diferenciable (de clase C p ),
o
−1 : B −→ A es tambi´n diferenciable(de clase C p ).
tal que su inversa g
e
Recordemos tambi´n que, como consecuencia del teorema de la funci´n
e
o
inversa, si A es un abierto de Rn y g : A −→ Rn es una aplicaci´n inyectiva y
o
diferenciable (de clase C p ) en A tal que Jg(x) = 0 para todo x ∈ A, entonces
g(A) es abierto en Rn y g : A −→ g(A) es un difeomorfismo (de clase C p ).
Teorema 7.1 Sean A y B subconjuntos abiertosy con volumen de Rn , y
sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 . Entonces, para toda funci´n integrable
o
61

CAP´
ITULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES

62

f : B −→ R, la funci´n (f ◦ g)|Jg| es integrable en A, y
o
(f ◦ g)|Jg|.

f=
A

B

Observaci´n 7.2 Si denotamos g = (g1 , ..., gn ); y1 = g1 (x), ..., yn = gn (x);
o
y
∂(g1 , ..., gn )
Jg =
,
∂(x1 , ..., xn )entonces la conclusi´n del teorema puede escribirse as´
o
ı:
f (y1 , ..., yn )dy1 ...dyn =
B

f (g(x1 , ..., xn ))
A

∂(g1 , ..., gn )
dx1 ...dxn .
∂(x1 , ..., xn )

Es conveniente hacer notar que el hecho de que en este teorema A y B
sean abiertos no supone en la pr´ctica ninguna restricci´n para el c´lculo de
a
o
a
integrales, ya que, al tener A y B volumen, sus fronteras tienenmedida cero,
y entonces, por los teoremas 4.1(vii) y 3.6 las integrales sobre la adherencia
y el interior de A (y de B) coinciden, de modo que
f=
B

(f ◦ g)|Jg| =

f=
B

A

(f ◦ g)|Jg|,
A

incluso si g dejara de ser un difeomorfismo en la frontera de A o Jg no
estuviera bien definido en dicha frontera. Se sigue de estas observaciones
que el enunciado del teorema del cambio devariables sigue siendo v´lido
a
si A y B se reemplazan por conjuntos con volumen cuyos interiores son
difeomorfos mediante un difeomorfimo g de clase C 1 . La secci´n dedicada
o
al cambio a coordenadas polares (ver m´s adelante) ilustrar´ este hecho.
a
a
Antes de ver ejemplos y aplicaciones de este teorema, esbozaremos una
justificaci´n intuitiva del mismo. Sea S un rect´ngulo muy peque˜ocontenido
o
a
n
en A. Entonces, como g es un difeomorfismo, g es aproximadamente una
aplicaci´n af´ en las proximidades de S, y g(S) es aproximadamente un
o
ın
paralelep´
ıpedo. Si g fuera realmente af´ sobre S, el volumen de g(S) ser´
ın
ıa
| det g|v(S). Como la aplicaci´n y → g(x) + Dg(x)(y − x) aproxima bien a
o
g cerca de x y es una aplicaci´n af´ tendr´
o
ın,
ıamos que el volumen deg(S)
ser´ aproximadamente igual a |Jg|v(S), es decir, haciendo S cada vez m´s
ıa
a
peque˜o, tendr´
n
ıamos que estas cantidades infinitesimales coinciden:
f (g(x))|Jg(x)|dx = f (y)dy,

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luego, sumando todas estas cantidades infinitesimales (es decir, integrando),
obtendr´
ıamos el resultado:
f (y)dy.

f (g(x))|Jg(x)|dx =
B

A

Veamos ahora algunos ejemplos.
Ejemplo 7.3...