Teorema de Cantor

Introducción
Para adentrarnos en el tema del teorema de Cantor, así como especializarnos en su desarrollo es necesario en primer lugar dominar a la perfección el concepto de “Conjunto potencia (o de partes)”, que veremos a continuación.
Conjunto de Partes
En matemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de partes de S, escrito P(S) o 2S, es el conjunto de todos lossubconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.
Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es como sigue:
{ } (conjunto vacío);
{a};
{b};
{c};
{a, b};
{a, c};
{b, c};
(a, b, c);

y por lo tanto el conjunto potencia de S es
P(S)= {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S, en este caso 3, entonces el respectivo conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos, en este caso 23 = 8. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia oausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números.
Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales:

La cardinalidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2n la prueba para conjuntos finitos.
El conjunto potencia de losnúmeros naturales, por ejemplo, se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una biyección entre los números reales y el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la sucesión infinita de ceros y unos dada por los coeficientes.
El conjunto potencia deun conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es subálgebra deuna álgebra booleana de partes.
La notación 2S
En teoría de conjuntos, XY es el conjunto de todas las funciones de Y a X. Como 2 puede ser definido como {0, 1} (véase número natural), 2S es el conjunto de todas las funciones de S a {0, 1}. Cada función en 2S está en correspondencia biyectiva con un subconjunto de S (la antiimagen de 1) por lo que se establece una equivalencia de conjuntos entre 2Sy P(S)

Teorema de Cantor
El teorema de Cantor es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:
El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.

El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto departes de ese conjunto tiene 2n elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:
Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada uno mayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, peroterriblemente importante en la fundamentación de las matemáticas.
No existe un conjunto que contenga a todos los demás conjuntos.
No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de .
Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.
Demostración
Antes de abordar la demostración de este teorema, aboquémonos a...