Teorema de Castigliano

TEOREMA DE CASTIGLIANO
El teorema de Catigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza.  Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a losdesplazamientos angulares.
El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras complejas.
Se ha visto que la energía de deformación es 
Si sustituimos en esta ecuación  la ecuación resulta
                                                           (Ec. 2.21) 
Derivando esta expresión respecto a F

Como se puede ver esta derivada esidéntica a la deformación.
También se sabe que la energía de deformación de la torsión es:
                                                            (Ec. 2.22) 
La derivada de esta ecuación respecto a T es:
 
Que es la ecuación del desplazamiento angular bajo una carga de torsión
La energía de formación para una viga en voladizo con una carga concentrada en su extremo, es                                                          (Ec. 2.23) 
Y la derivada respecto a F es     que es la deformación de la viga.
El teorema de Castigliano puede establecerse matemáticamente , 
δn = desplazamiento del punto de aplicación de Fn en la dirección Fn.
Puede aplicarse una fuerza imaginaria Q, si no existe realmente ninguna fuerza en este punto.  Después que se haya obtenido la expresión de δn, la fuerza Q se hace igual acero; la expresión resultante es el desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza imaginaria Q y en la dirección en la que se imaginó que actuaba Q.
EjemploN°2.8: 
Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida
Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de máxima deformación.  Considerando sólo laparte izquierda, el momento es:
 Ec. 2.24
La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.
                                                               
La deformación en el centro es
 Ec. 2.25 


Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.





Teorema de Maxwell-Betti
El teorema de Maxwell-Betti, o de formamás completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en elanálisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.

Coeficientes de influencia
Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:
En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke:linealidad entre tensiones y deformaciones).
Se verifica el Principio de superposición.
La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.
Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.
Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose  aldesplazamiento del punto i al aplicar en j una fuerza . En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

Sea  la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de...