Teorema de Demoivre


























Teorema de Demoivre

“El teorema de Demoivre, establecido por Abraham Demivre (1667 - 1754) en 1730, pero conocido ya por mucha gente alrededor de 1710, es importante porla siguiente razón: los procesos fundamentales del álgebra son las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división junto con la potencia y la extracción de raíces. Este teorema permiteque estas últimas operaciones algebraicas fundamentales sean aplicables a los números consejos.” (Trigonometría y Geometría analítica).

La fórmula de Demoivre nombrada así por Abraham Demoivre afirmaque para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los númeroscomplejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, esposible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de launidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.
Abraham Demoivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Demostración por inducciónConsideramos tres casos.
Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero paraalgún entero positivo k. Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de lainducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.
Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que , y (por convención) .

Cuando n < 0, consideramos...