Teorema De Esteiner

MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER
 Objetivo.
* Determinar la constante recuperadora de un muelle espiral.
* Determinar experimentalmente el momento de inercia de diferentes cuerpos, y comparar estos resultados con los correspondientes valores teóricos.
* Comprobar la veracidad del teorema de Steiner.
* Fundamentación Teórica.
El muelle espiral: El muelle espiral es unmuelle que, al igual que los muelles lineales, cumple la ley de Hooke. Cuando el muelle se tensa, aparece un par de fuerzas recuperador que lo devuelve a su posición de equilibrio. De esta forma, consideramos que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:

Donde es la fuerza del par recuperador, R es la constante recuperadora del muelle y es el ángulo girado. Si tenemos un sistemafísico sujeto al muelle espiral, el periodo de oscilación viene dado por la expresión:

Donde L es el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Por tanto, si conocemos R, podemos saber el momento de inercia del sistema físico con solo medir el periodo de oscilaciones.
El teorema de Steiner: Este teorema nos da el momento de inercia de un cuerpo cuando el eje de rotación pasaparalelo a un eje de rotación que pasa por el centro de masas del cuerpo. Viene dado por la expresión siguiente:

En donde ICM nos indica el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masas, m es la masa del cuerpo y d es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuerpo.

Variación del momento de inercia de un cuerpo con la distancia al eje: Imagina que tenemos un sistemaformado por una barra delgada y dos masas cilíndricas movibles dispuestas en forma simétrica sobre ella de esta forma:
El momento de inercia de este sistema es:

Donde Ib es el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de masas, Ic es el momento de inercia de las masas cilíndricas con respecto a un eje paralelo al interior que pasa por su centro de masas y d la distanciadesde el eje hasta el centro de cada una de las masas móviles. Para este determinado sistema, si sustituimos esta expresión en la expresión del periodo, obtenemos que:

Desarrollo experimental y resultados obtenidos.
Ley de Hooke: En una primera parte del desarrollo experimental vamos a determinar la constante R de nuestro muelle. Para ello ponemos primeramente la varilla colocando el eje derotación en el centro de esta. Mediante un dinamómetro y procurando que este aplique la fuerza ortogonalmente respecto a la varilla, y este paralelo al plano de la mesa, aplicamos una fuerza de forma que el ángulo sea de /2, y anotamos la fuerza que nos marca el dinamómetro. Repetimos con otros cuantos ángulos mayores, y obtenemos estos resultados:
d=0.3 ± 0.02 m (brazo de la varilla)
(grados)| (radianes) | F (Newtons) | = F d |
0° ± 1° | 0 ± 0.02 | 0 ± 0.02 | 0 ± 0.006 |
90° ± 1° | 0/2 ± 0.02 | 0.12 ± 0.02 | 0.03 ± 0.006 |
180°± 1° | 0 ± 0.02 | 0.22 ± 0.02 | 0.066 ± 0.006 |
270° ± 1° | 30/2 ± 0.02 | 0.36 ± 0.02 | 0.108 ± 0.007 |
360° ± 1° | 20 ± 0.02 | 0.46 ± 0.02 | 0.138 ± 0.008 |
Para el cálculo del error de hemos utilizado la expresión:

Ajustando a una recta por elmétodo de mínimos cuadrados, obtenemos la representación gráfica de = f():

Teorema de Steiner: En este apartado vamos a comprobar una forma alternativa de obtener la constante R, y además, comprobar el teorema de Steiner. Para ello, hallaremos en momento de inercia con respecto a los ejes definidos por los orificios del disco, y midiendo el periodo, emplearemos la ecuación siguiente:Orificio | d (cm) | d2 (cm2) | t (s) | T=t/n | T2 |
1 | 0.0 ± 0.1 | 0.0 ± 0.0 | 27.3527.6627.04 | 27.35 ± 0.01 | 2.735 ± 0.001 | 7.480 ± 0.005 |
2 | 3.0 ± 0.1 | 9.0 ± 0.6 | 28.8729.0228.90 | 28.93 ± 0.01 | 2.893 ± 0.001 | 8.369 ± 0.006 |
3 | 6.0 ± 0.1 | 36.0 ± 1.2 | 31.2531.2231.38 | 31.28 ± 0.01 | 3.128 ± 0.001 | 9.784 ± 0.006 |
4 | 9.0 ± 0.1 | 81.0 ± 1.8 | 34.7834.6234.91 | 34.77 ± 0.01 |...