Teorema de Euclides
Páginas: 2 (479 palabras)
Publicado: 13 de junio de 2016
Teorema de Euclides
El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito.
Los teoremas deEuclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Primer teorema: El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de laproyección del cateto sobre sí misma.
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra elementos. Una adaptación común de esta demostraciónoriginal sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este número es obviamente mayor que 1y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto,entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir,se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, yesto es independiente del conjunto finito que se tome.
Ejercicios
1.- Considere que en el triángulo que se muestra en la figura 1 la altura con respecto a lahipotenusa tiene un valor de 10 cm , y el segmento q tiene un valor de 5 cm , obtenga el valor del segmento p.
Para la resolución de este problema se usará el teorema de Euclides referido a la altura quenos dice que:
por lo tanto reemplazando con los valores otorgados por el problema se tiene que:
desarrollando la potencia y despejando “p” se tiene que
2.- Considere que en el triángulo de la...
El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito.
Los teoremas deEuclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Primer teorema: El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de laproyección del cateto sobre sí misma.
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra elementos. Una adaptación común de esta demostraciónoriginal sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este número es obviamente mayor que 1y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto,entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir,se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, yesto es independiente del conjunto finito que se tome.
Ejercicios
1.- Considere que en el triángulo que se muestra en la figura 1 la altura con respecto a lahipotenusa tiene un valor de 10 cm , y el segmento q tiene un valor de 5 cm , obtenga el valor del segmento p.
Para la resolución de este problema se usará el teorema de Euclides referido a la altura quenos dice que:
por lo tanto reemplazando con los valores otorgados por el problema se tiene que:
desarrollando la potencia y despejando “p” se tiene que
2.- Considere que en el triángulo de la...
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