Teoremas de Thales y Euclides

Teorema de Tales
 Existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (loscircuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se trazauna línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. 
Lo que se traduce en la fórmula
 

 
 
 Ejercicio comoejemplo:
 
En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.
Apicamos la fórmula, y tenemos




La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. 
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide(C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

Aplicación delPrimer Teorema de Tales
Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).
Ejemplo
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias ylos ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema , es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.


Figura 1.
Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.Figura 2.
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

Demostración:
En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2α + 2β = π (radianes) (180º)
Dividiendo ambos miembros de...