Teorema De Factorización Hadamard

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS ´ Facultad de Ciencias Matematicas ´ ´ Escuela Academico Profesional de Matematica

´ Teorema de Factorizacion de Hadamard para Funciones Enteras
Tesis para optar el T´ ıtulo Profesional de ´ Licenciado en Matematica GERMAN MENDOZA VILLACORTA Lima - Per´ u Octubre - 2011

´ TEOREMA DE FACTORIZACION DE HADAMARD PARA FUNCIONES ENTERAS GERMAN MENDOZAVILLACORTA
Tesis presentada a consideraci´n del Cuerpo Docente de la Facultad de Ciencias o Matem´ticas, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, como parte de a los requisitos para obtener el T´ ıtulo Profesional de Licenciado en Matem´ticas. a

Aprobado por:

Dr. Hugo L´zaro Manrique a

(Jurado)

Dr. Pedro Celso Contreras Chamorro.

Lima - Per´ u 2011

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RESUMEN

Teoremade Factorizaci´n de Hadamard para Funciones Enteras o Germ´n Mendoza Villacorta a Octubre - 2011
Asesor : Dr. Pedro Celso Contreras Chamorro T´ ıtulo Obtenido : Licenciado en Matem´tica a

Una funci´n entera puede ser considerada como un “polinomio de grado infinio to”. Por lo tanto surge la siguiente pregunta ¿Puede la teor´ de polinomios ser ıa generalizada a una funci´n entera?. Por ejemplo¿Puede ser una funci´n entera o o ser factorizada?. El teorema de factorizaci´n de Hadamard afirma que toda funci´n entera de orden o o finito posee g´nero finito; esto nos da una forma de factorizar funciones enteras. e Para ello estudiaremos los conceptos de rango, orden y g´nero de funciones enteras e y las relaciones que hay entre ellos. Palabras Claves : ´ Rango de una Funcion Entera ´ Orden deuna Funcion Entera ´ ´ Genero de una Funcion Entera

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´ Indice general
1. Preliminares 1.1. Funciones Anal´ ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Funciones Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Teorema de Factizaci´n de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . o 2. Teorema de Factorizaci´n de Hadamard o 2.1. Resultados Previos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3. F´rmula de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4. G´nero y Orden de una Funci´n Entera . . . . . . . . . . . . . . . e o 2.5. El Teorema de Factorizaci´n de Hadamard . . . . . . . . . . . . . o 2.6. Factorizaci´n de la Funci´n Seno . . . . . .. . . . . . . . . . . . o o 1 1 4 8 14 14 21 23 25 36 43

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Cap´ ıtulo 1 Preliminares
En este cap´ ıtulo estudiaremos algunos resultados conocidos de una Variable Compleja para usarlos posteriormente.

1.1.

Funciones Anal´ ıticas

Definici´n 1.1. Sea G un subconjunto abierto de C y f : G → C diremos que f o es diferenciable en el punto a ∈ G si existe f (a + h) − f (a) . h→0 h l´ ımEl valor de este l´ ımite es denotado por f ′ (a) y es llamado la derivada de f en a. Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable sobre G. Note que si f es diferenciable en G, entonces f ′ (a) define una funci´n f ′ : G → C, o si f ′ es continua diremos que f es continuamente diferenciable. Proposici´n 1.1. Si f es diferenciable en el punto a ∈ G, entonces f es continuao en a. Demostraci´n. o ] ] |f (z) − f (a)| [ l´ |f (z) − f (a)| = l´ ım ım l´ |z − a| = |f ′ (a)|0 = 0 ım z→a z→a z→a |z − a| 1 [

Definici´n 1.2. Una funci´n f : G → C es anal´ o o ıtica si f es cont´ ınuamente diferenciable en G. Se sigue como en el c´lculo que la suma y el producto de funciones anal´ a ıticas son anal´ ıticas, adem´s si f y g son anal´ a ıticas sobre G y G1 es el conjuntode puntos de G donde g no se anula, entonces f /g es anal´ ıtica en G. Proposici´n 1.2 (Regla de la Cadena). Sean f y g funciones anal´ o ıticas en G y V respectivamente, supongamos que f (G) ⊂ V entonces g ◦ f es anal´ ıtica en G y adem´s a (g ◦ f )′ (z) = g ′ (f (z))f ′ (z); a Demostraci´n. Ver [1], p´gina 39. o Proposici´n 1.3. Si G es abierto conexo y f : G → C es deferenciable con o f ′...