teorema de green

1.7. Teorema de Green en el Plano.
Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos y positivamente orientada en el
plano, y sea D la región limitada por la curva C, e incluyendo a C. Si F1 ( x, y ) y
F2 ( x, y ) son continuas y tiene primeras derivadas parciales continuas en alguna
región abierta R que contenga a D, con D ⊆ R , entonces

 ∂F2

v∫ F ( x, y ) dx + F ( x, y ) dy = ∫∫  ∂x1

2

C

D

−

∂F1 
 dA
∂y 

Demostración: Se demostrará el Teorema de Green para un caso particular, para ello
se debe probar que
∂F1

v∫ F dx = −∫∫ ∂y dA
1

C

D

y

v∫ F dy = ∫∫
2

C

D

∂F2
dA
∂x

Para demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida
de la siguiente manera
D = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x)}

una región Tipo I, Figura 39, donde g1 y g 2 son funciones continuas. Puede
observarse entonces, que la curva C puede ser dividida en dos partes:

C = C1 ∪ C2
donde C1 es la parte inferior de la curva, definida por

C1 = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, y = g1 ( x )}
y C2 es la parte superior de la curva, definida por

C2 = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, y = g 2 ( x )}
y = g1(x)

y
d

D
Rc
y = g1(x)
a

b

Figura 39. Región Tipo I.

Tomando la orientación positiva de la curva dada, y empleando la definición de la
integral de línea, y su evaluación, se tiene entonces

v∫ F ( x, y ) dx = ∫ F ( x, y ) dx + ∫ F ( x, y ) dx
1

1

C

(1)

1

C1

C2

b

b

a

a

= ∫ F1 ( x, g1 ( x ) ) dx − ∫ F1 ( x, g 2 ( x ) ) dx
b

= ∫  F1 ( x, g1 ( x ) ) − F1 (x, g 2 ( x ) )  dx
a

Recordando que el signo negativo de la segunda integral es debido a que se esta
recorriendo la curva en el sentido contrario a la orientación positiva de la curva.
También se observa que se puede escribir
b g ( x)

2
∂F1
∂F
∫∫D ∂y dA = ∫a g ∫x ∂y1 dydx
1( )

b

g2 ( x )

= ∫ F1 ( x, y ) g

1

a

( x)

(2)
dx

b

= ∫  F1 ( x, g 2 ( x ) ) − F1( x, g1 ( x ) )  dx
a

donde la igualdad que se obtiene se debe a la aplicación del teorema fundamental del
cálculo. Al igualar las ecuaciones (1) y (2) resulta

∂F1

v∫ F dx = −∫∫ ∂y dA
1

C

D

(3)
La primera igualdad que se quería demostrar. Ahora se supondrá que la región D
también puede ser definida de la siguiente manera
D = {( x, y ) / c ≤ y ≤ d , h1 ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y)}
una región Tipo II, Figura 40, donde h1 y h2 son funciones continuas. Puede
observarse entonces, que la curva C puede ser dividida en dos partes:
C = C3 ∪ C4
donde C3 es la parte izquierda de la curva, definida por
C3 = {( x, y ) / c ≤ x ≤ d , x = h1 ( y )}

y C4 es la parte derecha de la curva, definida por
C4 = {( x, y ) / c ≤ x ≤ d , x = h2 ( y )}

y

x = h2(y)

d

D
R

cx = h2(y)
a

b

Figura 40. Región Tipo II.

Tomando la orientación positiva de la curva dada. De la definición de la integral de
línea y su evaluación se tiene entonces

v∫ F ( x, y ) dy = ∫ F ( x, y ) dy + ∫ F ( x, y ) dy
2

C

2

C3

2

C4

d

d

c

c

= − ∫ F2 ( h1 ( y ) , y ) dy + ∫ F2 ( h2 ( y ) , y ) dy
d

= ∫  F2 ( h2 ( y ) , y ) − F2 ( h1 ( y ) , y ) dy
c

(4)

Como se observó anteriormente el signo negativo de la primera integral se debe a que
se esta recorriendo la curva en el sentido contrario a la orientación positiva de la
curva. Ahora bien, se puede escribir que
d h ( y)

2
∂F2
∂F
∫∫D ∂x dA = ∫c h ∫y ∂x2 dxdy
1( )

d

h2 ( y )

= ∫ F2 ( x, y ) h

1

c

( y)

dy

(5)

d

= ∫  F2 ( h2 ( y ) , y ) − F2( h1 ( y ) , y )  dy
c

donde la igualdad que se obtiene se debe a la aplicación del teorema fundamental del
cálculo. Al igualar las ecuaciones (4) y (5) resulta

v∫ F2 dy = ∫∫
C

D

(6)

∂F2
dA
∂x

Sumando las igualdades (3) y (6), se tiene que

 ∂F2

v∫ F ( x, y ) dx + F ( x, y ) dy = ∫∫  ∂x
1

2

C

−

D

∂F1 
 dA
∂y 

que es lo que se quería...