TEOREMA DE GREEN

TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremasresulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre integrar el campo directamente sobre lacurva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de lınea sobre una curva y laintegral doble sobre la region interior a ´esta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dichorecinto.

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una regiónabierta que contiene D,



Relación con el teorema de Stokes
El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.
Podemos aumentarel campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema deGreen:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

La superficie  es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario  apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera quecoincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .
La expresión dentro de la integral queda

De esta manera obtenemos el lado derecho del teorema deGreen




Relación con el teorema de la divergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:
 donde  es el vector normal saliente en la...