Teorema De Green

Teorema de Green
El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva  cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana  limitada por . 
Elteorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.
Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y unacurva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadasparciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.
Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior aésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

Sea C una curva simple ycerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F (x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a laregión D acotada por C. Entonces:



Notase que el Teorema de Green quedará demostrado si se prueba que 
1


y

2



Para demostrar la ecuación 1expresemos D como una región tipo I:



Donde  y  son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 1 como sigue:
3 


Donde en el último paso se sigue el teoremafundamental del cálculo.
Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo  como la unión de las cuatro curvas, ,  y  como se muestra en la figura. En  tomamos  como el parámetro yescribimos las ecuaciones para-métricas como  y.  
Entonces: 


Observe que  va de derecha a izquierda, pero  va de izquierda a derecha, de modo que podemos escribir las ecuaciones para-métricas...