Teorema De La Divergencia

Teorema de la Divergencia:
Enunciado: Sea E una región sólida simple y S la superficie frontera de E , definida con orientación positiva(hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funcionescomponentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene E. En tal caso,
sF.dS= EdivF dV
Demostración:
Sea F = P i + Q j + R k. Entonces:
div F= ∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z
a modo queEdivFdV = E ∂P∂x dV +E ∂Q∂y dV +E ∂R∂z dV
Si n es el normal unitario hacia afuera de S, por lo tanto la integral de superficie en el lado izquierdo o del teorema de la divergencia es
sF.dS=sF.ndS=s(P i + Q j + R k).ndS
=sP i .ndS+ sQ j .ndS+s R k.ndS
Por lo tanto, para demostrar el teorema de la divergencia, es suficiente demostrar las tres ecuaciones siguientes:
① sP i .ndS=E ∂P∂xdV
② sQ j .ndS=E ∂Q∂y dV
③ s R k.ndS= E ∂R∂z dV
Para demostrar la ecuación ③, se toma que E es una región tipo 1:
E= {(x,y,z) / (x,y) ∈D, u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}
Donde D es la proyección de Een el plano xy . De acuerdo con la ecuación:
E fx,y,zdV=Du1(x,y)u2g(x,y)fx,y,zdzdA
Se tiene:
E ∂R∂z dV = Du1(x,y)u2g(x,y)∂R∂z(x,y,z)dzdA
Y, en tal caso, según el teorema fundamental delcálculo,
E ∂R∂z dV = DR(x,y,u2x,y)- R(x,y,u1x,y)dA …………………④
La superficie frontera S consiste en tres partes: la superficie del fondo S1 , la superficie de la tapa S2 y posiblemente una superficievertical S3 , la cual se ubica encima de la curva frontera de D. Podría ocurrir que S3 no aparezca , como en el caso de una esfera. Observe que S3 tiene k. n = 0, porque k es vertical y n es horizontal, yasí:

S3Rk.ndS =S30dS=0


Por eso, sin que importe si hay una superficie vertical, puede escribir:
SR k .ndS= S1Rk.ndS +S2Rk.ndS ……………⑤
La ecuación de S2es z=u2x,y,(x,y) ∈ D , y la normaln hacia afuera señala hacia arriba, de modo que de la ecuación sF.dS= D-P∂g∂x-Q∂g∂y+RdA (en la queR k reemplaza a F), se tiene:
sR k .ndS= DR(x,y,u2x,y)dA
En S1 , tiene z=u1x,y, pero en este...