Teorema De Lagrange

Cap´ ıtulo

3 Teorema de Lagrange
3.1 Introducci´n o

En este cap´ ıtulo estudiaremos uno de los teoremas m´s importantes a de toda la teor´ de grupos como lo es el Teorema de Lagrange. Dareıa mos en primer lugar una serie de resultados b´sicos que se derivan de la a definici´n de grupos. Posteriormente se introduce el concepto de subo grupo y en especial se estudian las propiedades de losgrupos cicl´ ıcos. Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces el Teorema de Lagrange establece que el orden de H es un divisor del orden de G. Este resultado genera una serie de propiedades interesantes de los grupos finitos de tipo estructural. Finalizamos el cap´ ıtulo con el estudio de las clases laterales de un subgrupo H de G.

3.2

Resultados Preliminares

En esta secci´ndemostramos algunos hechos b´sicos sobre grupos, o a que se pueden deducir de la definici´n 1.3.1. o Lema 3.2.1 Si G es un grupo entonces a) El elemento identidad es unico. ´ b) Todo a ∈ G tiene un inverso unico en G. ´ c) Para todo a ∈ G, (a−1 )−1 = a. d) Para todo a, b ∈ G, (a · b)−1 = b−1 · a−1 . Demostraci´n: a) Sean e y f dos elementos identidad en G. Entonces o se tiene la ecuaci´n. o e = e · f = f,25

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Cap´ ıtulo 3. Teorema de Lagrange

de donde e=f b) Supongamos que un elemento a ∈ G posee dos inversos x e y. Luego x·a=a·x=e y·a=a·y =e Luego y(a · x) (y · a) · x e·x x c) Para a ∈ G, se tiene a−1 · a = e a · a−1 = e Luego a es el inverso de a−1 , unico, y por lo tanto (a−1 )−1 = a. ´ d) Sean a, b ∈ G. Luego (a · b)(b−1 a−1 ) = = = = a · (b · b−1 ) · a−1 (a · e) · a−1 a · a−1 e = == = y·e=y y y y

3.2. Resultados Preliminares

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Similarmente (b−1 a−1 )(a · b) = = = = b−1 · (a−1 · a) · b b−1 · e · b b−1 · b e

Por lo tanto (a · b)−1 = a−1 · b−1 . ♠ Proposici´n 3.2.1 Sean a y b en el grupo G. Entonces las ecuaciones o

a·x = b y · a = b,

(3.1) (3.2)

poseen soluci´n unica: x = a−1 · b ; y = b · a−1 . o ´

Demostraci´n: Multiplicando (??) por a−1 a laizquierda tenemos o a−1 · (a · x) (a−1 · a) · x e·x x a−1 · b a−1 · b a−1 · b a−1 · b

= = = =

Similarmente, multiplicando (??) por a−1 a la derecha tenemos

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Cap´ ıtulo 3. Teorema de Lagrange

(y · a)a−1 y · (a · a−1 ) y·e y

= = = =

b · a−1 b · a−1 b · a−1 b · a−1

♠ Lema 3.2.2 Sean a, u, w elementos en G. Entonces valen las siguientes leyes de cancelaci´n en G. o a · u = a · wimplica u · a = w · a implica u=w u=w (3.3) (3.4)

Demostraci´n: La ecuaci´n o o a·u=a·w posee soluci´n unica o ´ u = = = = a−1 (a · w) (a−1 · a)w e·w w

Similarmente, la ecuaci´n o u·a=w·a posee soluci´n unica o ´

3.2. Resultados Preliminares

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u = = = =

(w · a)(a−1 ) w(a · a−1 ) w·e w

Ejercicios
1) Sea m un entero positivo fijo. Diremos que dos enteros a y b son congruentesm´dulo m y lo denotamos por: o a ≡ b mod m, si m divide a b − a Probar que la relaci´n de congruencia m´dulo m en el conjunto Z o o Z es una relaci´n de equivalencia. o 2) Para cada entero a en Z , se define su clase de congruencia Z m´dulo m, como el conjunto formado por su clase de equivalencia o [a] = {x ∈ Z |x ≡ a mod m} Z El conjunto formado por todas estas clases se llaman Enteros m´o dulo my se denota por Z m . Z Probar que Z m es un grupo, bajo la operaci´n de suma m´dulo m, Z o o definida por: [a] + [b] = [a + b] ¿Cu´l es el elemento neutro de este grupo? Construya una tabla a para la operaci´n de suma m´dulo 7. o o 3) Demuestre que todo grupo de orden ≤ 5 debe ser abeliano. 4) Probar que si G es un grupo abeliano y a, b pertenecen a G, entonces (ab)n = an bn

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Cap´ ıtulo3. Teorema de Lagrange

para todo entero n ≥ 0. 5) Sea G un conjunto no vac´ cerrado con una operaci´n asociativa, ıo o tal que i) Existe un elemento e ∈ G tal que ae = a para todo a ∈ G. ii) Para todo a ∈ G existe un elemento a , tal que aa=e probar que G es un grupo con esta operaci´n. o 6) Sea G un conjunto finito, el cual es cerrado bajo una operaci´n o asociativa y tal que valen las dos...