Teorema de lagrange

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  • Publicado : 11 de agosto de 2010
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El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida ycontinua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otraspalabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c eshorizontal, es decir f '( c)=0.

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de laecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
[pic]
Donde lospares de puntos [pic]y [pic]son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja depuntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralelaa la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
[pic]
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciableen (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
[pic]
Por el Teorema deRolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:
[pic]
y así
[pic]
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