Teorema De Larange

¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?
La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema deRolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teoremade Rolle en el intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.
No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).
Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.

Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

Determinar a y b para que la función

cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].
En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].

En segundo lugar se debe cumplir que lafunción sea derivable en (2, 6).

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Entonces, existe algún punto c  (a, b) tal que:

Lainterpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).
Ejemplo
¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?
f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:TEOREMA DE ROLLE
Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugarcomprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugar calculamos el dominio de lafunción.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .
Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·
Teorema de Bolzano.
f(−1) = −1
f(0) = 3
Por tanto laecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 7x6 + 3
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz 
Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal...