Teorema De Limites

Teoremas de límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

Teoremade límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces


Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,


Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces


Teorema de límite4:


Teorema de límite5:


Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces


Teorema de límite7:
Si q es una funciónracional y a pertenece al dominio de q, entonces


Teorema de límite8:

Función discontinua
Clasificación de la discontinuidad de una función
La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

Evitable
Cuando existe el con pero no coincide con el valor de f (a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f (a).
Ejemplo 1:
Dada no existe f(2) pero si existeEsencial
Cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:
1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.
De primera especie o de salto
Con salto finito
Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero nocoinciden.


Ejemplo: La función signo



y además:

Con salto infinito (asíntota)
Cuando alguno de los límites laterales o ambos no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.


Ejemplo:

De segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.
Ejemplo: la función Raízcuadrada:

Continuidad (matemática)
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad defunciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazocontinuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que engeneral, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x enel dominio de la función:

Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo
si y sólo si

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando...