Teorema del límite central

Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de nvariables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurrecuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Contextualizando lo anterior tenemos: La distribución de la media muestral de una población normal es una distribución normal con la misma media poblacional y con desviación típica el error estándar. Este hecho nos permite calcular probabilidades cuando tenemos una muestra de una variable con distribuciónnormal y desviación típica
conocida. Cuando no conocemos la desviación típica de la variable, también
podemos hacer cálculos con la distribución t de Student.

Cuando la muestra es lo bastante grande, la solución nos viene dada por uno
de los resultados fundamentales de la estadística: el teorema del límite central.

La formula formal que se utiliza para resolver problemas de este tema es: 


Es muycomun encontrar esta formaula con una variable estandarizada Zn en funcion a la media muestral como se muestra en la imagen...
Ahora tenemos la formula de la siguiente manera:

Tambien podemos encontrar esta formula en versiones no normalizadas:



Esas son las formulas que manejan varios autores, pero nosotros usaremos 3 formulas diferentes para resolver el problema haciendolo lo mas facilmenteposible. Estas son las formulas que usaremos:






Introducción al teorema central del límite
 
El teorema central del límite (a partir de ahora, TCL) presenta un doble interés. Por un lado, proporciona a la estadística un resultado crucial para abordar el estudio de la distribución asintótica de muchos tipos de variables aleatorias. Como se verá en próximos capítulos, va a resultar básico en laconstrucción de contrastes de hipótesis y de intervalos de confianza, dos herramientas esenciales en estadística aplicada.
Además, el TCL proporciona una explicación teórica fundamentada a un fenómeno habitual en experimentos reales: las variables estudiadas presentan muchas veces una distribución empírica aproximadamente Normal.
El TCL forma parte de un conjunto de propiedades relativas a lasconvergencias de variables aleatorias. En este tema se estudia sólo un tipo de convergencia, la convergencia en ley, ya que es necesaria para entender el enunciado del TCL. Se descarta, pues, en este documento el estudio de los otros tipos de convergencias (en probabilidad, casi segura, etc.) y el estudio de las leyes de los grandes números.
Posiblemente el lector con poca formación en análisismatemático hallará alguna dificultad en la primera lectura de la definición de convergencia en ley y en el enunciado del TCL. Si es este el caso, los ejemplos incluidos han de ayudar en su comprensión. Consideramos al TCL un resultado básico con el que hay que familiarizarse, ya que se aplicará repetidamente en los próximos temas.



El Teorema Central de Límite no es unúnico teorema, sino que consisteen un conjunto de resultados acerca delcomportamiento de la distribución de la suma (o promedio) de variablesaleatorias.
Con Teorema Central del Límite nos referiremosa todo teorema en el que se arma, bajo ciertas hipótesis, que la distribuciónde la suma de un número muy grande de variables aleatorias se aproxima a unadistribución normal.
 
El término “Central”, debido a Polyá(1920), significafundamental, o de importancia central, este describe el rolque cumple este teorema en la teoría de probabilidades. Su importancia radicaen que este conjunto de teoremas desvelan las razones por las cuales, en muchoscampos de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales, ocasi normales.
Un ejemplo típico de este hecho es elcaso de los errores de medida. Con respecto a este...