teorema de moivre
Páginas: 4 (762 palabras)
Publicado: 29 de agosto de 2013
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.
Teorema de DeMoivre y Potencias
De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejoDonde la formula se usa cuando
en este caso
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de númeroscomplejos
Raíces de un número complejo
Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que tambiéntenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número realpositivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1,por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea unproblema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo,las raíces cuadradas de i son:
y
La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos elvalor principal a:
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor parasigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.
En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:
Donde (el valor absoluto o módulo...
Teorema de DeMoivre y Potencias
De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejoDonde la formula se usa cuando
en este caso
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de númeroscomplejos
Raíces de un número complejo
Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que tambiéntenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número realpositivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1,por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea unproblema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo,las raíces cuadradas de i son:
y
La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos elvalor principal a:
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor parasigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.
En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:
Donde (el valor absoluto o módulo...
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