Teorema De Pitagoras

Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Por ejemplo un triángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades es rectángulo porque 3² + 4² = 5². Las ternas de enteros que, como (3; 4; 5) verifican esta relación se llaman ternas pitagóricas.
Primera demostración
Supongamos eltriángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b, es decir que a² + b² = c².

Si añadimos tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figuracentral de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.
El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:
• El cuadradodel lado:
A = (a+b)2 = a2 + 2•a•b + b2
• Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
A = c2 + 4•(a•b/2) = c2 + 2•a•b
Igualando ambas expresiones:
a2 + 2•a•b + b2 = c2 + 2•a•b
y simplificando:
a2 + b2 = c2 , como queríamos demostrar.
Segunda demostración
Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó lafigura siguiente:

Alrededor del triángulo ABC, se construyen tres cuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde anaranjado, de área c2.
- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es elseno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas roja y anaranjada son iguales.
- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.
Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas anaranjada y verde, es decir: a2 + b2 = a'c + b'c = (a' + b')c = c2
Esta prueba utilizael teorema de Tales, un caso particular de los triángulos similares, teorema que sólo es válido en los espacios euclídeos (sin curvatura).

DESARROLLO.
Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandroy Anaximedes. Se dice quePitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimientocon propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofíade Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios,similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, yque le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el conceptode número, que...