teorema de pitagoras

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:



Demostración algebraica del teorema de Pitágoras
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
Tenemos una página que explica el Teorema de Pitágoras,pero aquí tienes un breve resumen:

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual el cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
Demostración del teorema de Pitágoras usando álgebra
Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra
Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro):

Es un grancuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es:
A = (a+b)(a+b)
Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área
 
A = c²
 
 
 
Y hay cuatro triángulos, cada uno con área
 
A =½ab
Así que los cuatro juntos son
 
A = 4(½ab) = 2ab
 
 
 
Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da:
 
A = c²+2ab
El área del cuadradogrande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así:
(a+b)(a+b) = c²+2ab
Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras:
Empezamos con:
 
(a+b)(a+b) = c²+2ab
 
 
 
Desarrollamos (a+b)(a+b):
 
a²+2ab+b² = c²+2ab
 
 
 
Restamos "2ab" de los dos lados:
 
a²+b² = c²
 
 
 
 
 
¡HECHO!
Ahora vemos por qué funciona el teorema dePitágoras, o con otras palabras, vemos la demostración del teorema de Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
Elárea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado
Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa esigual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?
(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)




 
DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Sereproducen a continuación algunas de las más conocidas.
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
PITÁGORAS.
Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
a2 + b2 = c2

PLATÓN.
La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmenteintuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.
 
 

EUCLIDES.
La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
 Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de...