teorema de pitagoras

Una ampliación al teorema de Pitágoras
Marco Vinicio Vasquez Bernal

Resumen
Uno de los teoremas mas ampliamente difundidos en las matemáticas es el de Pitágoras,
con sus múltiples demostraciones y aplicaciones, más en la educación actual su uso es
mecánico y se lo ha reducido a una fórmula estática y fría, despojando a la misma de la
grandiosidad que encarna la relación álgebra–geometríay que es la escencia de la
mencionada herramienta de la matemática.
Es necesario entonces explicar y entender el sentido del teorema mencionado, para así
explicar su relevancia científica, que se basa en la relación constante que existe entre la
ciencia matemática y la realidad.

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Una Ampliación al Teorema de Pitágoras:
La versión ampliamente difundida y estudiada del Teorema dePitágoras es
“La suma de las áreas de los cuadrados levantados sobre los catetos de un
triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado levantado sobre la hipotenusa”,
sin embargo es digno de curiosear que pasa si sobre los lados del triángulo rectángulo
levantamos otras figuras.
Veamos qué pasa si levantamos rectángulos (Fig.1) cuyas alturas son el doble de la
base (lados del triángulo).
Casode rectángulos:

Si sumamos las áreas de los rectángulos se tendrá que
2a² + 2b² = 2(a² + b²).
Más como sabemos, la forma básica del teorema de
Pitágoras expone que: a² + b² = c², con lo cual se tiene
que:
2a² + 2b² = 2c²,
y podemos concluir que: la suma de los rectángulos,
levantados en cada uno de los catetos de un
triángulo rectágulo, cuyas alturas sean el doble de
estos, es igual aláea del rectángulo levantado sobre la hitotenusa con una altura
igual al doble de la misma.
Es obvio además, que si construímos rectángulos en los lados del triángulo rectángulo,
donde las alturas resulten de mutiplicar cada lado del triángulo rectángulo por un
escalar, se tendrá lo siguiente. Si cada lado del triángulo lo multiplicamos por un valor,
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donde es un número real cualesquierase tendrá que:
,
, se tiene que:

y recordando que:

=

. Esto permite

expresar que
“La suma de los rectángulos, levantados en cada uno de los catetos de un triángulo
rectángulo, es igual al área del rectángulo levantado sobre la hipotenusa de ese
triángulo, siempre y cuando los rectángulos sean semejantes”.

Caso de triángulos equiláteros:
Para el caso de triángulos, primeroveremos que pasa si sobre los tres lados del
triángulo rectángulo levantamos triángulos equiláteros (Fig. 2):

Si sumamos las áreas de los triángulos equiláteros que
se ubican el los catetos del triángulo rectángulo se
tendrá que:

,
y como se sabe, la relación Pitagórica a 2 + b2 = c2,
permite concluir que:

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.
Lo que comprueba lo requerido y permite concluir que
“La suma de lasáreas de los triángulos equiláteros construídos sobre los catetos de
un triángulo rectángulo, es igual al área del triángulo equilátero construído sobre
su hipotenusa”.
Caso de polígonos regulares:
Para desarrollar esta parte, deberemos recordar que un polígono regular de n lados, es
una figura geométrica de lados iguales, que justamente su contorno, está conformado
por esos n lados, y que elárea puede encontrarse con la fórmula (Fig. 3):

Fórmula 1

Donde

es el número de lados del polígono regular y

la longitud del lado de ese

polígono.
Entonces si sobre los tres lados de un triángulo rectágulo construímos polígonos
regulares de seis lados (exágonos), tendríamos:
Haciendo algunos cálculos tenemos que:

6

,
,
.
Si sumamos

+

,

.

Aquí nuevamente debemosrecordar que a y b son los catetos de un triángulo rectángulo, por lo que
. Reemplazando tendríamos:

7

+

=

=

.

Lo cual se demuestra que la suma de las áreas de los exágonos construídos sobre los
catetos es igual al área del exágono construído sobre la hipotenusa.
En base de la fórmula 1, expuesta anteriormente, esto se puede generalizar para cualquier polígono regular....