Teorema de Stone-Weierstrass

Cap´
ıtulo 3

El Teorema de
Stone-Weierstrass
Vamos a ver en esta lecci´n el teorema cl´sico de Weierstrass y la importante
o
a
generalizaci´n del mismo dada por Stone.
o

El teorema de Weierstrass
El teorema de Weierstrass establece que cada funci´n continua sobre un ino
tervalo [a, b] de R puede ser aproximada uniformemente por polinomios o,
dicho de otro modo, que los polinomiosconstituyen una familia uniformemente densa de C[a, b].
Cuando se trata de aproximar una funci´n por polinomios, parece ineo
vitable pensar en los polinomios de interpolaci´n (polinomios que toman el
o
u
mismo valor que la funci´n en un n´mero finito de puntos dados)1 , como
o
o
buenos aproximantes. Sin embargo, los polinomios de interpolaci´n de una
funci´n no convergen, en general, nisiquiera puntualmente hacia la funci´n.
o
o
Por ejemplo, Berstein [4] demostr´ que los polinomios de interpolaci´n de
o
o
la funci´n |x| en [−1, 1], para puntos igualmente separados, s´lo convergen
o
o
en los puntos −1, 1 y 0. Tambi´n es famoso el ejemplo de Runge: los poe
o
o
ıtica) 1/(1 + x2 ), para
linomios de interpolaci´n de la funci´n (incluso anal´
puntos equidistantes delintervalo [−5, 5], diverge para |x| ≥ 3, 63....(Ver
[18]). Por otra parte s´lo para las funciones anal´
o
ıticas puede garantizarse
que los polinomios de Taylor converjan uniformemente. Se observa, pues,
1

Es bien conocido que para cada n + 1 puntos del plano {(xi , yi ) : x1 < x2 < . . . xn+1 }
existe un unico polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.
´

31

32

ElTeorema de Stone-Weierstrass

3.1

que la aproximaci´n uniforme de una funci´n continua mediante polinomios
o
o
debe ir por otros derroteros (Ver Cheney [6]).
La demostraci´n que vamos a hacer del teorema de Weierstrass es debida
o
a Berstein.
Teorema 3.1 Para una funci´n continua f definida sobre el intervalo [0, 1],
o
la sucesi´n de polinomios
o
n

Bn (f )x =

f (k/n)

n
kxk (1 − x)n−k

k=0

converge uniformemente hacia la funci´n f .
o
o
Demostraci´n. Denotemos por rk (x) = n xk (1 − x)n−k , con lo que podrek
mos escribir, Bn (f )x = n f (k/n)rk (x). Llamaremos a Bn (f ) el polinok=0
mio n-´simo de Berstein de la funci´n f . Tendremos necesidad de conocer
e
o
los polinomios de Berstein de las funciones 1, x y x2 :
n

n

n
k

rk (x) =

Bn (1)x=

xk (1 − x)n−k = x + (1 − x)

k=0

k=0

n

n

(k/n)

(k/n)rk (x) =

Bn (x)x =

n−1
k−1

=x

xk−1 (1 − x)n−k = x,

k=1
n

x
(k/n) rk (x) =
n

k=0
n−1

=

=

n

2

Bn (x )x =
x
n

xk (1 − x)n−k

k=0

k=0
n

2

n
k

(j + 1)

n−1
j

k

n−1
k−1

xk−1 (1 − x)n−k

k=1

xj (1 − x)n−1−j

j=0

n−1
x
n

n−1
j=0

j
n−1
+n−1 2 1
=
x + x.
n
n

n−1
j

x
n

xj (1 − x)n−1−j

n−1
n−1
j
j=0

xj (1 − x)n−1−j

n

= 1,

3.1

El Teorema de Stone-Weierstrass

33

Veamos que Bn (f ) converge uniformemente hacia f . (Observemos que esto
es verdad para f = 1, x o x2 ). Hemos de probar que para ε > 0 existe
un ´
ındice ν tal que
Si n ≥ ν ,

|f (x) − Bn (f )(x)| ≤ ε

∀x,

n
k=0 rk (x)o lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que

= 1, que

n

(f (x) − f (k/n))rk (x) ≤ ε ∀x ∈ [0, 1].

Si n ≥ ν ,
k=0

Puesto que f es uniformemente continua en [0,1], debe existir un δ > 0
tal que si |x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| < ε. Sean x ∈ [0, 1] y n ∈ N
cualesquiera y consideremos los conjuntos
I1 = {k : 0 ≤ k ≤ n, |x − k/n| ≤ δ} ,

I2 = {k : 0 ≤ k ≤ n, |x − k/n| >δ}.

Entonces
n

(f (x) − f (k/n))rk (x) ≤
k=0

|f (x) − f (k/n)|rk (x)
k∈I1

+

(3.1)

|f (x) − f (k/n)|rk (x)
k∈I2

≤ε+

|f (x) − f (k/n)|rk (x).
k∈I2

Sea M una cota superior de la funci´n f en [0,1]. Observemos que la condio
ci´n k ∈ I2 significa que (x − k/n)2 > δ 2 . Luego
o
1
k ∈ I2 ⇔ 1 < 2 (x − k/n)2 .
δ
Se tiene entonces que
2M
|f (x) − f (k/n)|rk (x) ≤ 2...