El Teorema De Aproximacion De Weierstrass

Membrete:

´ Modalidad de la Practica Pre-Profesional: ´ Investigacion T´ ıtulo del Proyecto: ´ El Teorema de Aproximacion de Weierstrass Apellidos y Nombres del Practicante: Sotelo Pejerrey, Alfredo ´ Codigo: 062987D ´ ´ ´ ´ Numero de Resolucion de Aprobacion de la Practica Pre-Profesional: No 020-2011-CD-EPM-FCNM ´ ´ Semestre Academico en que se desarrollo la Practica Pre-Profesional: ´Semestre Academico 2011-I

Datos Generales del Estudiante
Apellidos y Nombres: Sotelo Pejerrey, Alfredo C´digo: 062987 D o Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matem´tica a Escuela Profesional de Matem´tica a Semestre Acad´mico: 2011-A e T´ ıtulo del Trabajo: Teorema de Aproximaci´n de Stone-Weierstrass o

Datos Generales del Profesor Asesor
Apellidos y Nombres: RubioGallarday, Marco Antonio C´digo: 1311 o Categor´ y Dedicaci´n: Aux. Tp-20 horas ıa o Condici´n: Nombrado o Especialidad: Matem´tica a Facultad: FCNM

Datos Generales de la Instituci´n o
Instituci´n: Universidad Nacional del Callao o Direcci´n: Av. Juan Pablo II 306, Bellavista-Callao o Tel´fono: 429-9749 e

ii

Cronograma de Actividades Realizadas
Semestre Acad´mico 2011-A e Descripci´no 1 Revisi´n de Bibliograf´ y Recolecci´n de Datos o ıa o Desarrollo del Trabajo de Investigaci´n o An´lisis de los Resultados a Redacci´n Final y Exposici´n del Informe o o X X X X X Meses 2 3 4

iii

´ Indice general
Introducci´n o 1. Marco Te´rico o 1.1. Definiciones Relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Resultados Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2. Teorema de Aproximaci´n de Weierstrass o 2.1. Versi´n 1 (Usando Regularizaci´n de Funciones) . . . . . . . . . . o o 2.2. Versi´n 2 (Usando funciones poligonales) . . . . . . . . . . . . . . o 3. Teorema de Stone-Weierstrass 3.1. Lemas Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Resultados Conclusiones Bibliograf´ ıa vi 1 1 6 9 9 14 18 18 21 23 25 26

iv

Resumen En este trabajo estudiaremos el Teorema de Aproximaci´n de Weierstrass, es o decir: Dada una funci´n continua f : [a, b] → R, existe una sucesi´n de polinomios {Pn } o o tales que l´ Pn = f uniformemente en [a, b]. ım
n→∞

Daremos dos pruebas de este teorema. Una consiste en usar regularizaci´n de o funciones y laotra usando funciones poligonales. Tambi´n generalizaremos este teorema para un espacio m´trico compacto dando e e lugar al Teorema de Stone-Weierstrass en su versi´n real y compleja. o Palabras Claves : Convergencia uniforme, ´lgebra y sub´lgebra, espacio m´trico, espacio m´trico a a e e compacto, rampa.

v

Introducci´n o
En el presente trabajo de investigaci´n expondremos dos maneras dedemostrar el o Teorema de Aproximaci´n de Weierstrass. En el primer cap´ o ıtulo mencionaremos una serie de definiciones y resultados previos relevantes al tema. En el cap´ ıtulo 2 est´n contenidas las dos pruebas del Teorema, la primera de ellas a usa una t´cnica de regularizar una funci´n tomando la media ponderada de los e o valores que ella alcanza en la vecindad de cada uno de los puntos desu dominio, tal medida ponderada se llama convoluci´n de la funci´n dada con otra funci´n o o o escogida convenientemente. En la segunda parte basaremos nuestra prueba en una aproximaci´n por funciones poligonales. o En el cap´ ıtulo 3 se encuentra el Teorema de Stone-Weierstrass en su versi´n real o y compleja, el cual es el resultado principal del trabajo ya que generaliza las anteriores pruebas,para esto daremos una serie de definiciones y lemas previos que nos facilitar´ la posterior demostraci´n del teorema. a o

vi

Cap´ ıtulo 1 Marco Te´rico o
1.1. Definiciones Relevantes

1.1.1 Definici´n. o cuando, ∀ǫ > 0, ∃δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ → |f (x) − f (a)| < ǫ. continua en dicho punto. Observaci´n. o el punto a, si y s´lo si l´ f (x) = f (a). o ım
x→a

Una funci´n f : X →...