Teorema De Varigon

3. Estática del cuerpo rígido

3.4

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Teorema de Varignon

El Teorema de Varignon fue descubierto por el matemático neerlandés Simon
Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe suactual forma al matemático
francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1687 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra
de la opinión de losmatemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas
expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía
Leibniz.
El teorema de Varignon es visto, gracias alempleo del cálculo vectorial, como
una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya
que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos
dados, sinocomo entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía
complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de
Leibniz vino a solventar), y por el empleo detécnicas geométricas muy ingeniosas
pero difíciles de tratar.
Su enunciado es:
El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la
suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.Demostración
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Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1 , F2 , . . . , Fi , . . . , Fn , vectores en
un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicacion un cierto punto A. El
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⇀momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = r×Fi (producto vectorial).
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Nótese que escribimos r y no ri , ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo
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punto. El momento dela resultante R es: M = r × R donde R = F1 + F2 + . . . +
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Fi + . . . + Fn y r es nuevamente el vector posición común.
Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos
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r× R = r × (F1 + F2 + . . . + Fi + . . . + Fn )

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r × R = r × F1 + r × F2 + . . . + r × Fi + . . . + r × Fn

entonces:
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M = M1 + M2 + . . . + Mi + . . . +...