Teorema Del Binomio
Páginas: 3 (559 palabras)
Publicado: 4 de mayo de 2012
Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia de un binomio. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valorde (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:
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El coeficiente de en el desarrollo de es |
donde recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
|
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
* |
Teorema generalizado delbinomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquiernúmero real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otrosfactores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e ysean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Coeficiente binomial
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como deforma sencilla:
Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos deJohn Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie...
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia de un binomio. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valorde (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene una tercera representación:
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El coeficiente de en el desarrollo de es |
donde recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
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Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
* |
Teorema generalizado delbinomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquiernúmero real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otrosfactores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e ysean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Coeficiente binomial
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como deforma sencilla:
Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos deJohn Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie...
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