Ejercicios Teorema Del Binomio

Primer Semestre 2011 MAT110E ∗ GUIA N◦ 3 I. Teorema del Binomio 1. Desarrolle: a) d) (3x + 2y) 1 x − x
2 6 5

b)

(1 − x)

7

c)

√ 3

1 x+ x

6

e 2. Encuentre los coeficientes de los t´rminos indicados en los desarrollos correspondientes: 13 3 a) x11 en (3x + 2x2 )9 b) x9 en 2x − x 27 √ 2 c) x2 en 3 x − 2 d) x2r en (1 − x2 )4r x e 3. Encuentre los t´rminos centrales en losdesarrollos de 10 15 4x a3 5 b) a) 3a − − 6 5 2x √ √ 24 x−a+ a−x c) 4. Encuentre el t´rmino independiente de x en el desarrollo de e 9 3n 3 2 1 1 a) x − b) x− 2 2 3x x 5. Calcule el valor num´rico del t´rmino independiente de x en el desare e rollo de 3x65 + 2 x− 1 x2
40

6. Calcule el coeficiente de x−2 en el desarrollo de x
2

2 x − 2 x
2

28

1

7. Calcule el coeficiente de x25 en eldesarrollo de 1+ 1 1 + 4 2 x x 1 + x2 1 x
50

n

8. Si xr se encuentra en el desarrollo de

x+

, halle su coeficiente.

9. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de x2 + 1 x
2n

10. Determine el coeficiente de

1 en el desarrollo de x 1 x
n

(1 + x)n 1 +

11. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de x
3

1 4x − 2x
2

2n

12. El segundo, tercer y cuartot´rmino en el desarrollo de (x + y)n son e 240, 720 y 1080, respectivamente. Calcule x, y, n. 13. Demuestre que el coeficiente del t´rmino central del desarrollo de (1 + e 2n x) es igual a la suma de los coeficientes de los t´rminos centrales del e desarrollo de (1 + x)2n−1 14. Determine el valor de k para que los coeficientes de xk y xk+1 en el desarrollo de (3x + 2)19 sean iguales. 15. Determine elvalor de a para que los coeficientes de x7 y x6 en el desarrollo de (x + a)5 (x − 2a)3 sean iguales. 16. Calcule la suma y el producto de 2+ √ 3
7

con

2−

√

3

7

2

17. Determine el valor de a de manera que la suma de los coeficientes de los t´rminos centrales sea igual al t´rmino independiente de x en el e e desarrollo de: x− a x2
9

18. Si (1+x2 )2 (1+x)n = a0 +a1 x+a2 x2 +a3x3 +· · · y si a0 , a1 , a2 est´n en a progresi´n aritm´tica, determine los posibles valores del n´mero natural o e u n. 19. Demuestre que si n es natural mayor que 1

n 1

+3

n 3

+5

n 5

+ ··· = 2

n 2

+4

n 4

+ · · · = n · 2n−2

u 20. Demuestre que si n es n´mero natural, entonces (1 + √ 3)2n+1 + (1 − √ 3)2n+1 es natural.

21. A partir de la identidad (1 + x)m · (1 +x)n = (1 + x)m+n , calcule el valor de

m r

n 0

+

m r−1

n 1

+

m r−2

n 2

+ ··· +

m 0

n r

.

22. Determine el coeficiente de xn en el desarrollo de [1 + (n + 1)x] 1 + (1 + x)2n−1 y de all´ demuestre que: ı

n 0

2

n +2 1

2

n +3 2

2

n + · · · + (n + 1) n

2

=

(n + 2)(2n − 1)! n!(n − 1)!

3

I. Ejercicios de Conteo 1. ¿Cu´ntaspatentes se pueden formar con dos letras y cuatro d´ a ıgitos? (considere que hay 26 letras en el alfabeto). ¿Cu´ntas de dichas patentes no contienen el d´ a ıgito 0? 2. ¿Cu´ntos n´meros enteros positivos n se pueden formar con los d´ a u ıgitos 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 si queremos que n sea mayor que 5.000.000? a 3. ¿De cu´ntas maneras puede un estudiante responder un examen de 10 preguntas deverdadero/falso? Considere dos casos: (a) El estudiante debe responder todas las preguntas. (b) Es posible dejar preguntas sin responder. 4. (a) ¿De cu´ntas maneras se pueden sentar siete personas en torno a a una mesa circular? (b) Si dos de las personas insisten en sentarse juntas, ¿cu´ntas disposia ciones son posibles? (c) ¿Si Angelina y Jennifer, bajo ninguna circusntacia pueden sentarse juntas? a a 5.¿Cu´ntos enteros hay entre 0 y 50 (inclusive)? ¿Cu´ntos de estos enteros son divisibles por 2? ¿Cu´ntos pares (no ordenados) de enteros a entre 0 y 50 hay cuya diferencia sea 5? 6. De un naipe ingl´s (52 cartas) se escogen dos cartas al azar. ¿Cu´ntas e a selecciones posibles hay tales que: (a) la primera carta sea un As y la segunda no sea una Reina? (b) la primera carta sea un tr´bol y la segunda...