Teorema del Binomio

Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomial es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,


El coeficiente a en los términos de xbyc -xcybes conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).

Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también esrepresentado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:





El coeficiente de en el desarrollo de es

Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número deformas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:


Teorema generalizado del binomio (Newton)
IsaacNewton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammadibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizadosmediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fueradiferenciación o bien por integración.
El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía...