Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio
Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio.


Teorema de los valores intermedios.
En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamenteteorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función escontinua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.
Índice
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1 Enunciado
1.1 Enunciados equivalentes
2 Historia
3 Demostración
3.1 Teorema de Bolzano
3.2 Demostración con la topología
4 Ejemplos de aplicación
5 Véase también
6 Notas y referencias
7 Bibliografía
8 Enlaces externos
Enunciado[editar · editar código]
Elteorema de los valores intermedios establece que:
Sea  una función continua en un intervalo . Entonces para cada   tal que , existe al menos un  dentro de  tal que .
Enunciados equivalentes[editar · editar código]
Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe unc ∈ [a, b] tal que f(c) = u.
Como consecuenciadel teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.
Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.
Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Teorema de Bolzano: caso particular .
Historia[editar · editar código]
El teorema fue demostrado por primera vez por BernardBolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmosubdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchyfue la de definir una noción general de continuidad (en términos deinfinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.
El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestraque las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).
Demostración
El TVI hace parte de los llamados «teoremas de existencia». A la pregunta: «¿Existe un real c tal que f(c)=u?», el teorema responde afirmativamente: «Sí, existe.» Se impone entonces la pregunta: «¿Cuál es ese número real?». Variasdemostraciones son posibles, dependiendo de las premisas iniciales. La prueba siguiente utiliza la noción del supremo.
 [Expandir] Demostración utilizando el supremo
Teorema de Bolzano[editar · editar código]
Es frecuente (en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano, y después servirse de él para enunciar el TVI como un corolario. Enunciado:
Sea f una función realcontinua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.
El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno.
Si f(a) y f(b) no son del mismo signo, existe al menos un real c comprendido entre a y b tal que f(c) = 0 (pues 0 está comprendido entre f(a)...