Teorema Del Valor Medio

Teorema del valor medio
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En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consinte que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:
[pic]Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) talque la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

|Contenido |
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|1 Demostración |
|2 Forma integral del Teorema del valor medio |
|3Enunciado para varias variables |
|4 Generalizaciones |
|5 Véase también |
|6 Referencias |
|7 Enlaces externos |[editar] Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
[pic]
Donde los pares de puntos [pic]y [pic]son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curvacontinua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
[pic]
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
[pic]
Por el Teorema de Rolle, como ges derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:
[pic]
y así
[pic]
como queríamos demostrar.

[editar] Forma integral del Teorema del valor medio

Para una función continua [pic]en el intervalo [pic], existe un valor [pic]en dicho intervalo, tal que[1]
[pic]
Demostración Dado que la función [pic]es continua en [pic], posee un valormáximo en dicho intervalo para algún [pic], que llamaremos [pic]y también un valor mínimo en el mismo intervalo: [pic], para algún [pic]. Es decir [pic]y [pic]. Si consideramos las áreas de los rectángulos con base [pic]y altura [pic]ó [pic]tendremos la siguiente desigualdad:
[pic]
Lo que implica:
[pic]
De donde se deduce que debe existir algún [pic]para el cual la función [pic]alcanza el valorde la integral [pic], es decir:
[pic]
El teorema no especifíca como determinar [pic], pero resulta que [pic]coincide con el valor medio (promedio) de la función [pic]en el intervalo [pic].

[editar] Enunciado para varias variables

Sea [pic]un conjunto abierto y convexo y [pic]una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:[2]
[pic]
Donde:
[pic], es laaplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).
[pic]
[pic]

[editar] Generalizaciones

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones [pic]. En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:
[pic]
| [Mostrar] Demostración |
|En...