Teorema Fundamental de la Aritmética



4.3. Teorema Fundamental de la Aritmética

4.3.1. Definición. Un entero p > 1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p. Unentero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

Ejemplo: Los siguientes números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Los siguientes números son compuestos: 4, 6, 9, 14,15, 16, 21.

4.3.2. Teorema. Si p es un número primo y p | ab, entonces p|a ó p|b.

Demostración
Si p|a, no hay nada que demostrar.

Asumamos que . Como los divisores de p sóloson 1 y p, tenemos

M.C.D.(p, a) = 1. Entonces, por el lema de Euclides p|b.

4.3.3. Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto deprimos. Esta representación es única, salvo el orden de los factores.

El teorema anterior garantiza que todo entero n se puede escribir de forma única de la manera siguiente:donde,


Se puede demostrar que si un entero n está escrito en la forma anterior, entonces el número de sus divisores positivos viene dado por:



Resultadossimilares se pueden obtener en el caso que n sea negativo.

Ejemplo: 1001 se puede escribir como producto de primos de forma única, como .

Ejemplo: 24 se puede escribir como productode primos de forma única, como .

Ejemplo: El número de divisores de 1001 es .

Ejemplo: El número de divisores de 24 es .

Ejemplo: -1001 se puede escribir, salvo el signocomo producto de primos de forma única, como -1001 = - (7x11x13).

Ejemplo: El número de divisores positivos de -1001 es t (1001) = 8.

4.3.4. Definición. El mínimo comúnmúltiplo de dos enteros a y b, ambos diferentes de cero, denotado por m.c.m.(a, b) es el entero positivo m que satisface:

i. a | m y b | m
ii. Si a | c y b | c con c > 0, entonces, .