teorema fundamental del calculo

Teorema fundamental del cálculo integral

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisismatemático o cálculo

si f es continua en [ a, b ] y X [ a, b] , entonces F es derivable en X y F’(x) X є[ a, b]

F función integral
F(x) = => f(t) integrando
T variable auxiliarde la integración

F(x) es una integral indefinida
La integral es función de x

Si x=a => F(a) =
Si x=b => F(b) = => integral definida representa un numero

Ejemplos yejercicios resueltos

1 Calcular la derivada de:

a) F(x) = F(x)= F’(x)=f(x)=
b) F(x) = F(x)= sustituimos t=x, dx=1 F’(x)=2x
c) F(x) = F(x)=- sustituimos t=x, dx=1 F’(x)=-2x
d) F(x) =F’(x)=log(+4)dx F’(x)=log(+4)
e) F(x) = F(x)= F’(x)=0
f) F(x)=dt F(x)= F’(x)= F’(x)=

2 calcular la derivada de la función F(x)= de dos formas:
a) Obteniendo de forma explícita F(x) ydespués derivando
b) Aplicando el teorema fundamental del calculo

Desarrollo
a) F(x)= integramos F(x) = [ = derivamos F’(x)=2x.

b) Podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo yaque f es una función continua en todos los puntos
F(x)= F’(x)=f().d()F’(x)=2x.cos



Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a, b]definimos F sobre [ a, b] por  F(x) =
Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en  y F'(c) = f(c)
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
=f(b(x)).b’ (x) – f(a(x)). a’(x)
Siendo f (t) una función integrable sobre el intervalo [a(x), b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración
Lema
Sea  integrable sobre [a, b], y
m ≤ f(x) ≤...