Teorema Valor Medio De La Funcion
Páginas: 2 (491 palabras)
Publicado: 1 de marzo de 2015
Plataforma Educativa UNIDEG
Material de estudio
Materia: Matemáticas III
Módulo 3
El teorema de valor medio para integrales
El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte"entre" los
rectángulos inscrito y circunscrito hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de
la región bajo la curva, como se ilustra en la figura 1.
Figura 1
Si f es continua en elintervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el intervalo
cerrado [a, b], tal que:
∫
1
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Material de estudio
Materia: Matemáticas III
Módulo 3
Valor mediode una función
El valor de f(c) dado en el teorema del valor medio para integrales recibe el nombre de valor
medio de f en el intervalo [a, b].
Definición de valor medio de una función en unintervalo
Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor medio de f en el intervalo es
∫
Nota: Obsérvese en la figura 2 que el área de la región bajo la gráfica f es igual al área delrectángulo cuya altura es el valor medio.
Figura 2.
2
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Material de estudio
Materia: Matemáticas III
Módulo 3
Ejemplo 1: Determinación del valor medio de una funciónDeterminar el valor medio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1,4].
Solución: El valor medio está dado por
Su gráfica es:
3
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Material de estudio
Materia: Matemáticas IIIMódulo 3
Cambio de variable para integrales definidas
Cuando se usa la sustitución de du en una integral definida, muchas veces es conveniente
determinar los límites de integración para la variable uen vez de convertir la antiderivada o
primitiva de nuevo a la variable x y calcularla en los límites originales. Este cambio de variable se
establece explícitamente en el siguiente teorema.
Elteorema de valor medio para integrales definidas
Si la función u = g(x) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f es continua en
el recorrido o rango de g, entonces
Ejemplo 2:...
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Módulo 3
El teorema de valor medio para integrales
El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte"entre" los
rectángulos inscrito y circunscrito hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de
la región bajo la curva, como se ilustra en la figura 1.
Figura 1
Si f es continua en elintervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el intervalo
cerrado [a, b], tal que:
∫
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Valor mediode una función
El valor de f(c) dado en el teorema del valor medio para integrales recibe el nombre de valor
medio de f en el intervalo [a, b].
Definición de valor medio de una función en unintervalo
Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor medio de f en el intervalo es
∫
Nota: Obsérvese en la figura 2 que el área de la región bajo la gráfica f es igual al área delrectángulo cuya altura es el valor medio.
Figura 2.
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Ejemplo 1: Determinación del valor medio de una funciónDeterminar el valor medio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1,4].
Solución: El valor medio está dado por
Su gráfica es:
3
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Cambio de variable para integrales definidas
Cuando se usa la sustitución de du en una integral definida, muchas veces es conveniente
determinar los límites de integración para la variable uen vez de convertir la antiderivada o
primitiva de nuevo a la variable x y calcularla en los límites originales. Este cambio de variable se
establece explícitamente en el siguiente teorema.
Elteorema de valor medio para integrales definidas
Si la función u = g(x) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f es continua en
el recorrido o rango de g, entonces
Ejemplo 2:...
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