Teoremas De Boole

INTRODUCCIÓN

Hablaremos sobre los temas 4.1 (teoremas y postulados) 4.2 (optimización de expresiones Booleanas) 4.3 (aplicaciones de Álgebra Booleana) 4.3.1 (miniterminos y maxiterminos) 4.3.2 (representación de expresiones Booleanas con circuitos lógicos)

En los teoremas y postulados veremos Propiedad de cierre, Ley asociativa, Ley conmutativa, Elemento identidad, Ley distributiva,Inversa.

En el tema de optimización de expresiones Booleanas veremos cómo construir una expresión, en base a una función por su etapa.

En aplicación del Álgebra Booleana veremos sobre el valor Booleano que tiene una variable, cuando contiene 0 lógico o un 1 lógico en la mayoría de los lenguajes de programación se traduce como false o true ósea falso o verdadero.

TEOREMAS Y POSTULADOS DELÁLGEBRA DE BOOLE

ELEMENTOS:

1.  Propiedad de cierre.
    Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.
    Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,bpertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no está cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.
2.  Ley asociativa.
    El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que
    x*y*z = x*(y*z)  para toda x, y pertenecientes a S.
3. Ley conmutativa.
Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:
x*y = y*x  para toda x,y pertenecientes a S.
4.  Elemento identidad.
El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.
5.  Inversa.
El conjunto S tiene un elemento identidad(e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.
6.  Ley distributiva.
Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.).

Siempre que:
x*(y . z) = (x*y) . (x*z)
- El operador binario (+) define la adición.
- Identidad aditiva es el cero.
- Lainversa aditiva define la sustracción.
- El operador binario (.) define la multiplicación.
- Identidad multiplicativa es 1.
- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1
- La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador +
(.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el Álgebra de Boole se empleanpostulados de Huntington.
1.
a) Cierre con respecto al operador (+)
b) Cierre con respecto al operador (.)
2.
a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x
b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x
3.
a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x
b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y=y*x
4.
a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)
b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)
5.  Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:
a) x+x’ = 1
b) x’ = 0

6.  Existen cuando menos dos elementos x,ypertenecientes a B tal que x diferente de y.  Por lo tanto tenemos que el Álgebra de Boole difiere de la aritmética y del Álgebra ordinaria en la sig:
a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el Álgebra Booleana (para ambos operadores)
b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es valida...