Teoremas y axiomas de la probabilidad

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.

AXIOMAS.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determineconsistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Kolmogórov en 1993.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas.

Axioma uno.

La probabilidad de queocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
 0 p(A) 1

Axioma dos.

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.
p () = 1
 

Axioma tres.

Si A y Bson eventos mutuamente excluyentes, entonces:
p(AB) = p(A) + p(B).

Generalizando: si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces: p(A1A2.........An) =p(A1) + p(A2) + .......+ p(An).

TEOREMAS.
TEOREMA 1.
Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.
P () = 0
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a un evento Acualquiera, como y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A) = p(A) +p() = p(A). LQQD
 
TEOREMA 2.
La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:
Siel espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p() = p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p() = 1, por tanto, p(Ac) = 1 - p(A). LQQDTEOREMA 3.
Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).

DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B = A(B \ A) y p(B) = p(A)+ p(B \ A), luego entonces si p(B \ A) 0 entonces se cumple que p(A) p(B). LQQD

TEOREMA 4.
La p( A \ B ) = p(A) – p(AB)
DEMOSTRACIÓN:
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces elevento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A = (A \ B) (AB), luego p(A) = p(A \ B) + p(AB), entonces:
p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD
 

TEOREMA 5....