TEOREMAS

Teorema de Stokes

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

El teorema deStokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:

• Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma(como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F.

• En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es unavariedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática demayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

• Los dospuntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en símisma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al serextremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).

Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de unafunción sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:

Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dosdimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:

Similarmente el teorema de la divergencia...