Teoremas

´ UNIVERSIDAD DE IBAGUE GEOMETRIA

˜ JUAN CARLOS CARDENO JUAN PABLO PEREZ PERDOMO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES ´ IBAGUE 2010

´ Indice general
1. NUMEROS REALES 2. POLINOMIOS 3 13

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Cap´ ıtulo 1 NUMEROS REALES
1.1. Las propiedades algebricas de R

En esta secci´n se analizar´ la estructura algebraica del sistema de los n´meros reales. o a u Esto se hace presentando primerouna lista de las propiedades b´sicas de la adici´n y la a o multiplicaci´n. Esta lista engloba todas las propiedades algebraicas esenciales de R en o el sentido de que todas las dem´s propiedades afines se pueden deducir como teoremas. a En la terminolog´ del algebra abstracta, el sistema de los n´meros reales es un campo ıa ´ u con respecto a la adici´n y a la multiplicaci´n. Las propiedadesmencionadas en 1.1.1 o o se conocen como axiomas de campo. Por operaci´n binaria en un conjunto F se entiende una funci´n B de n´meros reales o o u con dominio F XF y codominio en F . Por consiguiente, una operaci´n binaria asocia a o cada par ordenado (a, b) de elementos del conjunto F con un elemento unico B(a, b) de ´ F . Sin embargo, en lugar de usar la notaci´n B(a, b), se utilizan las notacionescomunes o de a + b y a · b (o simplemente ab) en la explicaci´n de las propiedades de la adici´n y o o la multiplicaci´n. o 1.1.1 Propiedades algebricas de R. En el conjunto R de los n´meros reales hay dos operaciones binarias, denotadas por + u y · que se denominan adici´n y multiplicaci´n respectivamente. Estas operaciones o o satisfacen las siguientes propiedades: (A1) a + b = b + a para toda a,b en R (propiedad conmuntativa de la adici´n) o 3

(A2) (a + b) + c = a + (b + c) para toda a, b, c en R (propiedad asociativa de la adicion); (A3) existe un elemento 0 en R tal que 0 + a = a y a + 0 = a para toda a en R (existencia del elemento cero); (A4) para cada a en R existe un elemento −a en R tal que a + (−a) = 0 y (−a) + a = 0 (existencia de elementos negativos) (M1) a · b = b · a patatoda a, b en R (propiedad conmutativa de la multiplicacion); (M2) (a·b)·c = a·(b·c) para toda a, b, c en R (propiedad asociativa de la multiplicacion) (M3) existe un elemento 1 en R diferente de 0 tal que 1 · a = a y a · 1 = a para toda a en R (exitencia de un elemento unitario); (M4) para toda a = enR existe un elemento 1/a en R tal que a·(1/a)) = 1 y (1/a)·a = 1 (existencia de reciprocos); (D)a · (b + c) = (a · b) + (a · c) y (b + c) · a = (b · a) + (c · a) para toda a, b, c en R (propiedad distributiva de la multiplicacion sobre la adicion). Ejemplo: Las matrices se denota M (R)2x2 con las operaciones usuales de suma y producto y producto por escalar, se verifica que forman un grupo.

1.1.2 Teorema. a) Si z y a son los elementos de R tales que z + a = a, entonces z = 0 b) Si u y b =0 son elementos de R tales que u · b = b, entonces u = 1. Demostraci´n: a) La hipotesis es que z + a = a. Se suma −a, cuya existencia esta o dada en (A4), a ambos miembros para obtener

(z + a) + (−a) = a + (−a). 4

si se aplican sucesivamente (A2), (A4) y (A3) en el primer miembro, se obtiene

(z + a) + (−a) = z + (a + (−a)) = z + 0 = z

si se utiliza (A4) en el segundo miembro, seobtiene

a + (−a) = 0

Se concluye por tanto que z = 0 La demostraci´n del inciso b) se deja como ejercicio. Observese que la hipotesis b = 0 o es determinante. Se prueba en seguida que para un elemento dado a en R, el elemento −a y el elemento 1/a (cuando a = 0) estan determinados de manera unica. 1.1.3 Teorema. Sean a, b elementos cualesquiera de R. Entonces: a) la ecuaci´na + x =btienelasolucionunicax = (-a)+ b o b) si a = 0, la ecuaci´n a · x = b tiene la solucion unica x = (1/a) · b o

Demostraci´n: Aplicando las propiedades (A2), (A4) y (A3) se obtiene o

a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b,

lo cual indica que x = (−a) + b es una soluci´n de la ecuacion a + x = b. o Para probar que es la unica soluci´n, si se supone que x1 es solucion de la ecuacion o entonces a + x1...