Teoremas
Páginas: 5 (1033 palabras)
Publicado: 19 de junio de 2012
Semejanza de Triángulos: El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no necesariamente de igual tamaño. Ejemplo: Se obtienen triángulos semejantes al: i) Al trazar paralelas a lados del triángulo: ii) Al ampliar o reducir un triángulo:
C C A A B B
Dos triángulos serán semejantes, si sus ángulos son iguales y sus lados homólogos proporcionales; donde los lados homólogosson los opuestos a ángulos iguales, indicándose la semejanza por el símbolo
C
∼.
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α = α’ β = β’ γ = γ’ a b c = = a' b' c'
α’
⇔
ABC
∼
A’B’C’
Ejemplo: En base al A
53º a=6
ABC y
c=10 37º
A’B’C’ de la figura se tiene que: Los ángulos son iguales, vea si son A’ proporcionales los lados homólogos; 53º c’ =5lados opuestos a ángulos iguales: a’ =3 B C’
37º b’ =4
C
b=8
B’
___ = ___ = ___
Luego ABC A'B'C'; debiendo existir una correspondencia entre los vértices, a los que les debe corresponder ángulos iguales. Ejercicio: Si ABC C x+1 16 y+2 S y-1 12
∼
RST ; luego "x" e "y" valen: T x-1
R A B Teoremas de semejanza: Teorema 1: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares deángulos iguales; es decir: C Si C’ γ α = α’ ∨ α = α’ ∨ γ = γ’ a a’ b b’ γ’ β = β’ γ = γ’ β = β’ β’ α’ β α B’ A’ luego ABC ∼ A’B’C’ c’ A c B (1)
Teorema 2: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos proporcionales e igual el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:
C
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b = ∨ a' b' γ = γ’luego
b c = ∨ b' c' α = α’
ABC
∼
a c = a' c' β = β’
A’B’C’
Teorema 3: Dos triángulos son semejantes si poseen sus tres lados homólogos respectivamente proporcionales:
C
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b c = = a' b' c' luego ABC
∼
A’B’C’
Teorema 4: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos proporcionalese igual el ángulo opuesto al mayor de estos lados.
C
b α
A
γ
C’
a β c
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b = a' b' α = α’ luego
∨
b c = b' c'
∨
a c = a' c'
(a y a’ l. mayor) (c y c’ l. mayor) (c y c’ l. mayor)
ABC
∼
γ = γ’ A’B’C’
γ = γ’
Ejercicio: Verifique si (a)
C 70º 80º A
ABC
∼
A’B’C’ en c/u de los siguientes casos:
C’ 70º 30º(b)
9 B’ A 40º
C C’ 3 12 B A’ 65º 4 75º B’
B A’
(c)
6
C 9 4 A’
C’ 6 8 B’
(d)
6
C
C’ 4 A’ 5 B’
A
12
B
A
10
B
(2)
Notar que al trazar una paralela a Si DE//AC ⇒ un lado del triángulo , resulta un C nuevo triángulo que es semejante E al anterior. A Ejemplos: 1) Si ABCD paralelogramo; x = ? D x+3
x+5
DBE
∼
ABC
D
B
F
2) Enbase a la figura, se tiene que x = ? C
x+4 x-2 x x+8
E
x+1 x
C
E
D A B A B
3) Si AB//DE ; luego el perímetro de la 4) Si AC//BD ; el área de la figura es: figura es: A
x+7 x+12 x+2 x+4
D
x+1 x+9
C
x-5 x-3
C
x-2
E
A
E
x-10
B
B
D
Teoremas: 1) Si los triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales a elementos lineales homólogos.
Cb
A
γ
C’
Si a’ c’ β’
B’
a β
b’ γ’
A’
α
α’
A’B’C’ ⇒ bβ a b c ha t = = = = = c a' b' c' ha' bβ ' tc' ABC
∼
2)
c B Si los triángulos son semejantes, sus áreas son entre si como el cuadrado de dos elementos lineales homólogos.
C
b α
A
γ
C’
Si a’ c’ β’ (3)
B’
ABC
a c β
B
b’ γ’
A’
α’
Area Area
A’B’C’ ⇒ 2 2 ABC a 2 h 2 b β t c b == 2 = = A'B'C' a'2 hb' b 2 ' t 2 β c'
∼
Ejemplos: 1) Si ABC ∼ A’B’C’ con AD y A'D' 2) Si ABC ∼ A’B’C’ y área transversales; luego A'D' mide: 72cm2; el área del A´B´C´ es:
C C’ D 12 A 20 B A’ x 15 D’ B’ A 18 B A’ C 15 B’ C’
ABC =
Ejercicios Propuestos: 1) Si AC//DE y BC//DA ; se tiene que el 2) Se tiene que el valor de x es: valor de x es: A) 3/7 B) 3 C) 4 D) 9 E) 13 3) Si AB...
C C A A B B
Dos triángulos serán semejantes, si sus ángulos son iguales y sus lados homólogos proporcionales; donde los lados homólogosson los opuestos a ángulos iguales, indicándose la semejanza por el símbolo
C
∼.
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α = α’ β = β’ γ = γ’ a b c = = a' b' c'
α’
⇔
ABC
∼
A’B’C’
Ejemplo: En base al A
53º a=6
ABC y
c=10 37º
A’B’C’ de la figura se tiene que: Los ángulos son iguales, vea si son A’ proporcionales los lados homólogos; 53º c’ =5lados opuestos a ángulos iguales: a’ =3 B C’
37º b’ =4
C
b=8
B’
___ = ___ = ___
Luego ABC A'B'C'; debiendo existir una correspondencia entre los vértices, a los que les debe corresponder ángulos iguales. Ejercicio: Si ABC C x+1 16 y+2 S y-1 12
∼
RST ; luego "x" e "y" valen: T x-1
R A B Teoremas de semejanza: Teorema 1: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares deángulos iguales; es decir: C Si C’ γ α = α’ ∨ α = α’ ∨ γ = γ’ a a’ b b’ γ’ β = β’ γ = γ’ β = β’ β’ α’ β α B’ A’ luego ABC ∼ A’B’C’ c’ A c B (1)
Teorema 2: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos proporcionales e igual el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:
C
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b = ∨ a' b' γ = γ’luego
b c = ∨ b' c' α = α’
ABC
∼
a c = a' c' β = β’
A’B’C’
Teorema 3: Dos triángulos son semejantes si poseen sus tres lados homólogos respectivamente proporcionales:
C
b α
A
γ
C’
a c β
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b c = = a' b' c' luego ABC
∼
A’B’C’
Teorema 4: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos proporcionalese igual el ángulo opuesto al mayor de estos lados.
C
b α
A
γ
C’
a β c
B
b’ γ’
A’
a’ c’ β’
B’
α’
Si a b = a' b' α = α’ luego
∨
b c = b' c'
∨
a c = a' c'
(a y a’ l. mayor) (c y c’ l. mayor) (c y c’ l. mayor)
ABC
∼
γ = γ’ A’B’C’
γ = γ’
Ejercicio: Verifique si (a)
C 70º 80º A
ABC
∼
A’B’C’ en c/u de los siguientes casos:
C’ 70º 30º(b)
9 B’ A 40º
C C’ 3 12 B A’ 65º 4 75º B’
B A’
(c)
6
C 9 4 A’
C’ 6 8 B’
(d)
6
C
C’ 4 A’ 5 B’
A
12
B
A
10
B
(2)
Notar que al trazar una paralela a Si DE//AC ⇒ un lado del triángulo , resulta un C nuevo triángulo que es semejante E al anterior. A Ejemplos: 1) Si ABCD paralelogramo; x = ? D x+3
x+5
DBE
∼
ABC
D
B
F
2) Enbase a la figura, se tiene que x = ? C
x+4 x-2 x x+8
E
x+1 x
C
E
D A B A B
3) Si AB//DE ; luego el perímetro de la 4) Si AC//BD ; el área de la figura es: figura es: A
x+7 x+12 x+2 x+4
D
x+1 x+9
C
x-5 x-3
C
x-2
E
A
E
x-10
B
B
D
Teoremas: 1) Si los triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales a elementos lineales homólogos.
Cb
A
γ
C’
Si a’ c’ β’
B’
a β
b’ γ’
A’
α
α’
A’B’C’ ⇒ bβ a b c ha t = = = = = c a' b' c' ha' bβ ' tc' ABC
∼
2)
c B Si los triángulos son semejantes, sus áreas son entre si como el cuadrado de dos elementos lineales homólogos.
C
b α
A
γ
C’
Si a’ c’ β’ (3)
B’
ABC
a c β
B
b’ γ’
A’
α’
Area Area
A’B’C’ ⇒ 2 2 ABC a 2 h 2 b β t c b == 2 = = A'B'C' a'2 hb' b 2 ' t 2 β c'
∼
Ejemplos: 1) Si ABC ∼ A’B’C’ con AD y A'D' 2) Si ABC ∼ A’B’C’ y área transversales; luego A'D' mide: 72cm2; el área del A´B´C´ es:
C C’ D 12 A 20 B A’ x 15 D’ B’ A 18 B A’ C 15 B’ C’
ABC =
Ejercicios Propuestos: 1) Si AC//DE y BC//DA ; se tiene que el 2) Se tiene que el valor de x es: valor de x es: A) 3/7 B) 3 C) 4 D) 9 E) 13 3) Si AB...
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