Teoria Combinatoria

 TEORIA COMBINATORIA:
La Combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que podemos llevar a cabo de un modo rápido teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellas.
La Teoría Combinatoria es la parte de Matemáticas que se encarga de crear grupos de datos, objetos, etc., y además de llevar a cabo los cálculos necesarios.Entre las diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos tenemos las: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones.
VARIACIONES SIN REPETICIÓN  
Llamamos variaciones a los distintos grupos de elementos que podemos formar tomados de n en n de un total de m elementos.
Ejemplo:
¿Cuántos grupos de 2 cifras (n) podemos formar con las tres primeras cifras (m)?
Sirviendo de undiagrama de árbol podemos hacer:

Los grupos de 2 elementos son: 12, 13, 21, 23, 31 y 32

Variaciones
Consideremos cuatro elementos, A,B,C y D, y veamos cuántas agrupaciones pueden formarse si se toman dichos elementos uno, dos, tres y cuatro a la vez. Al número de elementos, en este caso 4, lo denotamos por la letra m ( m= 4).
a. Si se toma un elemento a la vez, el número de agrupaciones quese puede formar es 4:
A B C D
Se dice que se han formado las variaciones de 4 elementos tomados de uno en uno, lo cual se representa como V Observa que:
V = 4
b. Si se toman dos elementos a la vez, se tienen las siguientes agrupaciones:
AB BA CA DA
AC BC CB DB
AD BD CD DC
Se han formado así las variaciones de 4 elementos tomando de dos en dos, entonces:
V = 12
Observa que:
V = V . ( 4- 1)
V = 4. (4 -1) = 4.3 = 12
c.Si se toman 3 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:
ABC BAC CAB DAB
ABD BAD CAD DAC
ACB BCA CBA DBA
ACB BCD CBD DBC
ABD BDA CDA DCA
ADC BDC CDB DCB
El número de agrupaciones es:
V = V . ( 4 - 2)
V = 4. ( 4 - 2) . ( 4 - 2 ) = 24
d. Si se toman 4 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADCCADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
El total de agrupaciones resulta en este caso igual a:
V = 4. ( 4 -1 ) . ( 4 - 2) . ( 4 - 3) = 4.3.2.1 = 24
El ejemplo estudiado indica que :
V = 4
V = 4.3 V = V . 3
V = 4.3.2 V = V . 2
V = 4.3.2.1 V = V . 1
En general, para m elementos podemos escribir:
V = m
V = m ( m -1 ) V = V . (m -1 )
V= m ( m -1 ) (m - 2 ) V = V. ( m -2)
.
.
.
V = m (m -1 ) ( m - 2 ) ... (m - n + 1 ) V =V . ( m - n + 1 )
De acuerdo a lo anterior, la relación :
V = m ( m - 1 ) ( m - 2 ) ... ( m - n + 1 )
Permite determinar las variaciones de m elementos tomados de n en n . Si en la relación (12.2) multiplicación y dividimos el numerador y denominador por ( m- n)!, obtenemos :
m ( m - 1 ) ( m - 2 ) ... (m - n + 1 ) (m - n ) !
V =
( m - n ) !
Ahora bien, de acuerdo a ( 11.4 ) , ( m - n ) ! puede escribirse como:
( m - n ) ! = ( m - n ) ( m- n - 1 ) ( m- n - 2 ) ... 3.2.1
Sustituyendo en ( 12. 3)
m (m - 1 ) ( m -2 )... ( m - n + 1 ) (m - n) ( m- n -1 ) ( m - n - 2 ) ... 3.2.1
V=
(m - n ) !
El numerador de (12.5) es m ! y, por tanto,
V = m!
(m -n )
Es importante notar lo siguiente, queen el caso de variaciones de m elementos tomados de n en n :
a. De los m elementos, sólo n intervienen en las agrupaciones.
b. Las agrupaciones de n elementos son distintas si distintas si difieren en el orden de colocación.
Ejemplo 12.6
Determina:
a) V b) V c) V
* Solución
a) V 7! = 4! 5. 6. 7 = 210
( 7 - 3 ) ! 4!
b) V ( x + 1 ) ! x! ( x + 1 )
( x + 1 - 1 ) ! x !
c) V ( m - n ) ! ( m -n + 2 ) ! ( m - n )! ( m - n + 1 ) ( m - n + 2 )
V m! (m- n ) ( m- n )!
(m - n + 2 )!
= (m - n + 1) ( m - n +2 )
Ejemplo 12. 7
¿ De cuántas maneras se pueden agrupar 5 bolas de distintas colores?
* Solución
Si las bolas colores distintos, digamos amarillo (A), rojo , negro (N), verde (V) y marrón (M), se trata de permutarlas para obtener agrupaciones diferentes. Así serían distintas las...