Teoria Combinatoria

Teoría Combinatoria de Números

La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros.Los métodos algebraicos o analíticos son bastante poderosos en este campo.
La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoriaextremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.
A menudo se presenta la necesidad decalcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que laformalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.
Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. 
Principios aditivo y multiplicativo de conteo.
* Principio aditivo de conteo: Sean A y Bdos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B
* Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrirab.
A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.
Ejemplo 1: Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?
Solución: Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señalesdistintas:
R , V , A
Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después la otra) es decir
RR, RV. RA, VR, VV, VA, AR, AV, AA
Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata dedos sucesos A y B descritos como:

A: Se hacen señales con una sola bandera
B: Se hacen señales con dos banderas.
Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa

Ejemplo 2: ¿De cuantas maneras pueden colocarse una torre blanca y una torre negra en un tablero de ajedrez de modo que se ataquen?El tablero de ajedrez tiene 8 × 8 = 64 casillas, y este es el número de maneras en que se puede ubicar la torre blanca. Una vez ubicada la torre blanca, la torre negra debe colocarse en una casilla de la misma columna o fila ocupada por la torre blanca. Como el número de estas casillas es 7 + 7 = 14 la respuesta al problema es 64 × 14 = 896.

Observemos que si se tratase de colocar dos torres...