Teoria De Colas

Tema 3.

Procesos estocásticos
básicos en teoría de
colas.

3.1 Introducción. Planteamiento general.
Un

proceso

estocástico

es

en

esencia

un

modelo

matemático de un fenómeno que evoluciona en el tiempo de forma
aleatoria.

Ejemplos:
• El número de llamadas telefónicas recibidas en una centralita
hasta cierto instante t.
• La sucesión de tiempos que permanecenen el buffer de un
conmutador los paquetes de una conexión en espera de ser
transmitidos.
• La sucesión de tamaños (en bytes) de los paquetes que llegan a
un conmutador de red.

De una manera más formal, un proceso estocástico se define
como una familia de variables aleatorias {ξs }s∈S, definidas sobre un
mismo espacio de probabilidad (Ω, B ,P), que representa el
comportamiento aleatoriodel fenómeno que se estudia. En este
contexto ξs suele representar el valor de una variable de interés ξ
medida en el instante s, o el valor que toma esa variable sobre el sésimo objeto que interviene en el fenómeno analizado.
En las aplicaciones que veremos a lo largo de este curso,
cuando T es continuo suele ser T=
ser T= .

+

, y cuando es discreto suele

Ejemplos:
• ξt = númerode llamadas telefónicas recibidas en una centralita
hasta cierto instante t.
• ξk = Tiempo que permanece en el buffer de un conmutador el késimo paquete de una conexión desde que llega hasta que es
transmitido.
• ξk = Tamaño (en bytes) del k-ésimo paquete de una conexión.

Asimismo el espacio de probabilidad (Ω, B ,P) representa el azar.
Los elementos ω ∈ Ω son los posibles resultadosaleatorios de la
observación del fenómeno, P es la función que asigna a los ω su
probabilidad de ocurrencia P(ω), y B es la colección de conjuntos de
Ω a los que se puede asignar de modo consistente un valor de
probabilidad.
De acuerdo con esta definición, a cada ω ∈ Ω fijo, el proceso
le asocia los valores {ξs(ω)} que constituyen una función de S en
denominada trayectoria del proceso asociada aω. De esta forma,
podemos considerar un proceso estocástico como una función de
dos variables ξ(s,ω) = ξs(ω) de S×Ω en
•

Para cada s fijo: ξs (·): Ω −

• Para cada

fijo: ξ• (ω): S −

en la que:

+

es una variable aleatoria.

es una trayectoria del proceso

S

Si llamamos

al espacio de todas las funciones de S en

,

también podemos interpretar un procesoestocástico con conjunto
de parámetros S y valores en

como una única aplicación:

X:Ω

−

S

que a cada ω ∈ Ω le hace corresponder la función :

X (ω) = ξ• (ω): S −
Desde esta perspectiva puede entenderse un proceso estocástico
como el conjunto de todas las posibles formas en que puede
evolucionar

la

variable

en

estudio

(trayectorias)

más

una

distribución deprobabilidad sobre dicho conjunto, que nos indique
cuál es la probabilidad de que se produzca cada trayectoria
particular.
El problema es ¿cómo determinar la distribución de probabilidad
asociada a un proceso estocástico?. Aunque lo natural sería
considerar como distribución del proceso la distribución conjunta de
las variables aleatorias que lo componen, el hecho de que
usualmente S seainfinito impide esta aproximación. Los trabajos de
Kolmogorov en los años 30 del siglo pasado condujeron al teorema
que lleva su nombre y que garantiza que bajo ciertas condiciones
de regularidad, conocer la distribución (finito-dimensional) de
probabilidad de

(ξ

s1

)

, ξ s2 ,..., ξ sn para todo n y para cualesquiera s1, s2,

..., sn ∈ S es equivalente a conocer la distribución deprobabilidad
del proceso. Ello se traduce, en la práctica, en que el estudio de los
procesos estocásticos se realiza a través de sus distribuciones finito
dimensionales.

3.2

Procesos Puntuales
Un proceso puntual aleatorio es un proceso estocástico cuyas

realizaciones consisten en conjuntos de puntos distribuidos
aleatoriamente sobre un cierto espacio continuo. Tales puntos
suelen...