Teoria de colas

Sistemas de Colas Sistemas de Colas
Ing. Luis Zuloaga Rotta

Ing. Luis Zuloaga Rotta

FIIS - UNI

Premisas para el estudio de un Sistema de Colas
• Un sistema de colas puede ser analizado en función de sus tasas de arribo y de servicio, variables cuyo comportamiento puede ser aleatorio. • Para nuestro estudio consideraremos que los arribos se ajustan a una distribución de Poisson con tasamedia ? o tiempo entre arribos Exponencial con tasa media 1/ ? . Los tiempos de servicio son Exponenciales con tasa media de servicio µ.
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Notación Notación
• ? : tasa de arribo (usuarios por unidad de tiempo) • µ: tasa de servicio (usuarios por unidad de tiempo) • p0: probabilidad que el sistema este vacío. • pn: probabilidad que existan n usuarios en elsistema • Neus: número esperado de usuarios en el sistema • Neuc: número esperado de usuarios en cola • Tepuc: tpo. esperado de paso de un usuario en cola • Tepus: tpo. esperado de paso de un usuario por el stma.
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Cola
Tiempo entre Arribos (t)

Servicio

STMA. 1 COLA/1 SERVIDOR/POBLACIÓN NO FINITA
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1 Cola/1 servidor /Población no finita
λ µ
n

p0 = 1 −

p

n

λ  =   p0 µ

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1 Cola/1 servidor / Población no finita
p ( n > N ) = p N + 1 + p N + 2 + p N + 3 + .... p( n> N ) = 

 

λ µ

  

N +1

p
N+2

0

+

 

λ

  µ

N +2

p

0

+

 

λ µ

  

N +3

p
N +4

0

+

 

λ µ

  

N +4p

0

+ ....

 λ  p ( n> N ) = p0     µ  

λ  +  µ 
N +1

N+2

 λ  +   µ 

N +3

 λ +   µ

 + ...   

p( n > N )

=

p0

 λ     µ  λ  1 −  µ 
N +1

     
Probabilidad de que hallan más de N usuarios en el sistema.
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p( n > N )

 λ  =   µ 

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1 Cola/1 servidor /Población no finita
pcola =n = pstma =n +1 pcola =n λ =  µ
n +1

Probabilidad de que hallan n usuarios en la cola

p0
Probabilidad de que no exista cola en el sistema
2

p : ∃ Cola = p 0 + p1 p : ∃ Cola λ = 1−   µ

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1 Cola/1 servidor / Población no finita
Neus =

∑i ×p
i =0

∞

i

=

0 × p0 + 1 × p1 + 2 × p2 + 3 × p4 + ...2 3 4 5  λ   λ  λ λ  λ Neus = p0    + 2   + 3   + 4   + 5   + ...   µ   µ  µ µ  µ  

  λ   λ  2  λ  3  λ 4  λ  5               µ   µ  µ  µ µ  Neus = p0  + + + + + ...  λ λ λ λ λ 1− 1− 1− 1− 1 −  µ µ µ µ µ     λ Neus = µ−λ
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1 Cola/1 servidor / Población no finita
Neuc = ∑icola × ps t m = + 1 = 0 × p1 + 1× p2 + 2× p3+ 3 ×p 4 + ... ai
i=0 ∞

λ λ λ λ Neuc = 0 + 1  p0 + 2   p0 + 3   p0 + 4   p 0 + ... µ µ µ µ  λ  λ 2  λ 3    λ 2  λ 3  λ  4   λ 3  λ 4  λ  5  λ       Neuc =   p0  +   +   + ... +   +   +  + ... +   +   +  + ... + ... µ   µ  µ   µ  µ  µ  µ µ  µ  µ             
2 3 4 5  λ  λ λ λ λ   µ µ µ µ λ  µ   +   +   +   + ... Neuc =   p0  +   µ  1 − λ 1 − λ 1 − λ 1 − λ 1 − λ  µ µ µ µ µ      λ  λ µ  λ2 = Neuc =     µ  1− λ  µ (µ − λ )  µ  

2

3

4

5

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1 Cola/1 servidor / Población no finita
 1  1  λ  Tepuc =   [ Neus ] =   µ   µ µ − λ  λ Tepuc = µ(µ − λ )
Tepus = Tepuc + Tservicio  λ   1 Tepus =  +   µ(µ − λ )   µ  1 Tepus = µ−λ
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K

Cola
Tiempo entre Arribos (t)

Población Servicio 1

STMA. 1 COLA/1 SERVIDOR/POBLACIÓN FINITA (K)
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1 Cola/1 servidor / Población finita (k)
i  k k!  λ   p0 =  ∑    i =0...