Teoria de conjuntos. Renato Lewin

TEORIA AXIOMATICA DE
CONJUNTOS
Versi´n Preliminar
o
Renato A. Lewin
Author address:
´
Pontificia Universidad Catolica de Chile, Facultad de
´
Matematicas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE.
e-mail: rlewin@mat.puc.cl

Indice
CAPITULO 1. Introducci´n. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel
o
1. El Lenguaje Formalizado L
2. Los Axiomas de la Teor´ ZF. Conceptos Fundamentales
ıaCAPITULO 2. Teor´ Elemental
ıa
1. Operaciones
2. Relaciones
3. Funciones
4. Relaciones de Equivalencia
5. Relaciones de Orden

5
7
9
17
17
23
30
40
44

CAPITULO 3. Ordinales
1. N´meros Naturales
u
2. Ordinales
3. Inducci´n Transfinita
o
4. Recursi´n
o
5. Funciones Normales
6. Ordinales y Buenos Ordenes
7. Aritm´tica Ordinal
e
8. La Jerarqu´ Acumulativa de Conjuntos
ıa57
57
64
70
72
75
78
80
101

CAPITULO 4. El Axioma de Elecci´n
o
1. Equivalencias del Axioma de Elecci´n
o
2. Aplicaciones

105
105
111

CAPITULO 5. Cardinales
1. Definiciones y Resultados B´sicos
a
2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos
3. Aritm´tica Cardinal
e
4. Cardinales Regulares y Singulares
5. La Hip´tesis del Continuo
o

117
117
125
129
144
146Bibliograf´
ıa

151

Glosario

153

3

4

CAPITULO 1

Introducci´n. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel
o
Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es
una colecci´n (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que
o
pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto.
En toda teor´ axiom´tica debemos partir de t´rminos que nopodemos
ıa
a
e
definir para no correr el riesgo de caer en un c´
ırculo vicioso. Tal es el
caso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teor´ de
ıa
Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva
que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el
desarrollo de la teor´ no es necesario contar con estas intuiciones.
ıa
Una teor´axiom´tica es un modelo formal de una realidad que
ıa
a
queremos estudiar. Est´ compuesta por axiomas, o sea, oraciones a
a
partir de las cuales, usando s´lo reglas l´gicas, podamos obtener todas
o
o
las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan
de establecer las caracter´
ısticas y propiedades esenciales de los objetos
que estamos tratando de describir en nuestro modelo.El ideal ser´ en
ıa
primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de
la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que
todas y s´lo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan
o
obtener a partir de nuestra lista.
Diversas teor´ axiom´ticas de conjuntos han logrado en mayor
ıas
a
o menor grado el segundo de estos objetivos. Elprimero en cambio,
obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema
de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ´sto es muy sencillo: no
e
se puede. En efecto, los resultados obtenidos por el l´gico Kurt G¨del
o
o
alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatizaci´n
o
completa de la Teor´ de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teor´
ıa
ıasmatem´ticas como la teor´ de n´meros.
a
ıa
u
Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin embargo ´sto no es as´ s´lo nos advierte que el ideal es imposible. De hee
ı, o
cho numerosos matem´ticos han logrado establecer teor´ axiom´ticas
a
ıas
a
que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi
toda la matem´tica. Estudiaremos una de ellas en estas p´ginas, aa
a
saber, la teor´ de Zermelo–Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del
ıa
5

trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teor´ en los primeros
ıa
a˜os de este siglo.
n
Un conjunto est´ definido por los objetos que contiene. Nuestra
a
intuici´n nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, es
o
decir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjunto...