teoria de conjuntos

´
Guia 2, Algebra

Tema: Teor´ de Conjuntos.
ıa
P1.- Sean A, B, C conjuntos, los tres distintos del conjunto vac´ Probar que:
ıo.
(a) (C ⊆ A ∪ B) ⇐⇒ (A \ B) ∩ C = C \ B.
(b) A ⊆ C =⇒ (A \ B)= C \ [ B ∪ (C \ A) ].
(c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
P2.- Sean A, B, C conjuntos, los tres distintos del conjunto vac´ Suponga que las
ıo.
siguientes afirmaciones son verdaderas:
(a) (x ∈ A∧ y ∈ B) ⇒ y ∈ A.
(b) (x ∈ A ∨ y ∈ A) ⇒ y ∈ B.
/
/
Demuestre que la proposici´n y ∈ B es verdadera.
o
/
P3.- Sean A, B, C conjuntos, los tres distintos del conjunto vac´ Pruebe que:
ıo.
[ A⊆ B ⊆ C ] =⇒ [ C \ (B \ A) = A ∪ (C \ B) ].
utilizando las definiciones elemento a elemento.
P4.- Sean U un conjunto universo y A ⊆ U un conjunto, todos distintos del conjunto
vac´ Pruebe que:
ıo.(∀ V, W ⊆ U ) [V = W ] ⇐⇒ [ V ∩ A = W ∩ A ] ∧ [ V ∪ A = W ∪ A ].
P5.- (a) Sea U el conjunto universo, considere A, B conjuntos Demuestre que:
[(Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = B] =⇒ [A = φ].
(b) Sean U unconjunto universo, y A, B, W ⊆ U conjuntos, todos distintos
del conjunto vac´ Suponiendo que se cumple (A ∩ W ) ⊆ (B ∩ W ) y
ıo.
c ) ⊆ (B ∩ W c ), pruebe que A ⊆ B.
(A ∩ W
P6.- Sea U un conjuntouniverso y A, B, C ⊆ U conjuntos, todos distintos del
conjunto vac´ Pruebe que:
ıo.
(A ∩ B ∩ C = φ) =⇒ (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) = A ∪ B ∪ C.
P7.- Sea U un conjunto universo y A ⊆ U un conjuntodistinto del conjunto vac´
ıo.
Se define un nuevo conjunto:
M = {X ∈ P(U ) : A ∩ X = φ}.
(a) Muestre que φ ∈ M y que Ac ∈ M .
(b) Probar que A ∈ M ⇔ A = φ ⇔ M = P(U ).
(c) Demostrar que (∀ X ∈ M )(∀Y ∈ P(U ) ) X ∩ Y ∈ U .
(d) Demostrar que [ (X ∈ M ) ∧ (Y ∈ M ) ] =⇒ [ (X \ Y ) ∪ (Y \ X) ] ∈ M .
1

P8.- Sean A, B, C conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos para
a
probarque:
(a) (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C.
(b) (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∪ C).
(c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
(d) A ⊆ B ⊆ C ⇒ C \ (B \ A) = A ∪ (C \ B).
(e) B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) ⇔ A...