Teoria de conjuntos y tpos de conjuntos

U
A B
a x b
k
y z
c
C


Cuando se seleccionan o sombrean las siguientes partes significa:
a “Sólo A”, “Exclusivamente A”, “Únicamente A”, “A-B-C”
b “Sólo B”, “Exclusivamente B”, “Únicamente B”,“B-A-C”
c “Sólo C”, “Exclusivamente C”, “Únicamente C”, “C-A-B”
a, b, c “Ocurre sólo uno de ellos”, “Únicamente uno de ellos”, “Exactamente uno de ellos”
todas las minúsculas “Ocurre A o B o C”, “Al menos uno de ellos”, “Por lo menos uno de ellos”, “AUBUC”
x, y, z “Ocurre exactamente dos de ellos”, “Sucede únicamente dos de ellos”
k “Ocurre A y B y C”, “ A∩B∩C”
a, x, b “Ocurre A o B pero no C”,“(AUB)-C”
a, y, c “Ocurre A o C pero no B”, “(AUC)-B”
b, z, c “Ocurre B o C pero no A”, “(BUC)-A”
x, y, z, k “Ocurre al menos dos de ellos”, “Ocurre por lo menos dos de ellos”
Ejemplo 1:
En el grafico aparece el número de personas que leen los periódicos A, B, y C



U
A B
1 5 2

4 7 6

3
C 8a) ¿Cuántas leen sólo un periódico? R: 6 (1+2+3)
b) ¿Cuántas leen dos periódicos solamente? R: 15 (5+4+6)
c) ¿Cuántas leen los tres periódicos? R: 7
d) ¿Cuántas leen el Periódico A? R: 17 (1+5+4+7)
e) ¿Cuántas leen sólo A? R: 1
f) ¿Cuántas leen A y B pero no C? R: 8 (1+5+2)
g) ¿Cuántas no leen ninguno de los 3 periódicos? R: 8 (el que está fuera)
h)¿Cuántas leen como mínimo dos periódicos? R: 22 (5+7+4+6)
i) ¿Cuántas leen como máximo dos periódicos? R: 21 (1+5+2+4+6+3)
j) ¿Cuántas leen B pero no A o C? R: 2

Problema 1.-
Dado el conjunto A= {1; 2; {2; a}; {2; 1; b}} : indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
a) 2∈{2;a} R: Falso ambos son elementos de A
b) 1∈{2;1;b} R: Falso ambos son elementosde A
c) 2∈{2} R: Falso {2} no es elemento de A
d) 2;a∈A R: Verdadero {2;a} es un elemento de A
e) 2;a∈{2;1;b} R: Falso ambos son elementos de A

Ejercicio 2:
En una encuesta se obtienen los siguientes resultados:
60 no hablan inglés, 70 no hablan francés, 60 hablan inglés o francés. Sí de 100 encuestados ninguno habla otro Idioma además del materno
a) ¿Cuántoshablan los dos Idiomas? R: 10
b) ¿Cuántos hablan inglés? R: 30
c) ¿Cuántos hablan francés? R: 20
d) ¿Cuántos hablan uno y solo uno de los idiomas? R:50
Solución:

Inglés francés

X y z

Como se entrevistaron 100 personas y 60 no hablan inglés, 70 no hablan francés entonces
100-60 = 40 hablan inglés →nInglés=40→x+y=40
100-70 = 30 hablan francés →n(Francés=30 →y+z=30
Además como 60 hablan inglés o francés tenemos:
nIngés ∪Francés= nInglés+ n Francés- nInglés ∩Frncés, es decir:
60=40+30-y →y=10
x+y=40 →x=30
y+z=30 →z=20
Hablan solo uno de los idiomas: x + z =50
Ejercicio 3:
En el jardín de mi casa hay tres colores de flores: rojas, blancas y amarillas. Ayer mientras contabalas flores descubrí lo siguiente: 38 no blancas, 45 no son amarillas y 57 no son rojas. ¿Cuántas flores tengo en mi jardín? R: 70
Solución: Los conjuntos son disjuntos no hay simultáneamente una flor de dos o tres colores
B A

X y

z
R

Si 38 no son blancas entonces son amarillas orojas →y+z=38 →nA ∪R= 38
Si 45 no son amarillas entonces son blancas o rojas →x+z=45 →nB ∪R= 45
Si 57 no son rojas entonces son blancas o amarillas →x+y=57 →nB ∪A= 57
Resolviendo las dos primeras Ecuaciones tenemos:

Resolviendo esta última ecuación con la tercera obtenemos:

Por lo cual z=13
En consecuencia nB ∪A ∪R=nB+nA+nR=x+y+z=32+25+13=70
Ejercicio 4:
En una exposición...