Teoria De Conjuntos

INTRODUCCIÓN





La inteligencia humana percibe los objetos de diversas maneras. Una puede ser intuitiva, es decir, por contacto directo de los objetos sin que sean necesarios conocimientos anteriores para su entendimiento. A este tipo pertenecen los conocimientos de espacio, materia, unidad, pluralidad, ordenación y correspondencia, entre otros. Son conceptos primitivos ointuitivos, muy importantes para el fundamento de la Ciencia Matemática. Estas nociones intuitivas junto con los conceptos definidos integran las bases para esta ciencia.
La Ciencia Matemática tiene por objeto el estudio tanto de las magnitudes como de las cantidades, que son las variaciones de las primeras (estados particulares). Entre lo más fundamental y dentro de la rama de la Aritmética seencuentra la Teoría de Conjuntos, creación del alemán Georg Cantor en el siglo XIX en el trabajo titulado “Grundlagen zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos para una teoría general de los colectores)”, cuya gran importancia estriba en que el concepto de conjunto se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas delas Matemáticas puras y aplicadas, útil para construirproposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
















TEORIA DE CONJUNTOS

Definiciones:

1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Ejemplos: { 1,3, 7, 10}
{x(x2 -3x –2= 0}
{ Inglaterra, Francia, Dinamarca}


DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO


Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman.

Se usan dos maneras para definir un conjunto:
a) extensión o enumeración
b) comprensión.


DEFINICION POREXTENSION O ENUMERACIÓN


Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno.
Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos [pic], lo hemos definido por extensión.


DEFINICION POR COMPRENSION


Un conjunto está definido por comprensióncuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos.
Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en una proposición verdadera (V) sólo cuando a su/s variable/s se le/s asignan como valores los elementos de ese conjunto.
En el caso de conjuntos de interés matemático la función proposicional sueletener forma de una ecuación, o también de una inecuación.
Ejemplo: el mismo conjunto M del caso anterior puede ser definido por comprensión así:
[pic]
El símbolo “x/…” se lee: x, tal que…


2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.


Notación: A(B ( (x (A( x(B


Ejemplo:
El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1}ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:
A = {1,3,5} B = {2,4,6,8}

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

4.- ConjuntoPotencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

Notación:

Ejemplo:
A = {3,4,5}
P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.

P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}, ( }.

5.- Conjunto Vacío:...