teoria de conjuntos




Teoría de Conjuntos

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
Ejemplos de conjuntos:
Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjuntode los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrandoentre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se diceniguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota à (A).
Entonces, larelación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B :={a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).
Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
Æ ' = U .
U ' = Æ .
(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A ={ x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A È A = A A Ç A = A
2.- Conmutativa A È B = B È A A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa A È ( B È C ) = ( A È B ) È C A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B) Ç C
4.- Absorción A È ( A Ç B ) = A A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad A È A' = U A Ç A' = Æ
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
A È Æ = A, A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D...